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Version 81.1 von Holger Engels am 2023/11/21 18:59

Aufgabe 1 Uneigentliches Integral

Betrachtet wird für negative rationale Zahlen q die Potenzfunktion p mit $p(x)=x^q;\: x\neq 0$ .

Für $b \rightarrow \infty$ heißt $U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx$ uneigentliches Integral über p, falls U_q eine reelle Zahl ergibt.

Überprüfe, für welche Werte von q das uneigentliche Integral U_q existiert.

x hoch minus 2.png

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AFB III	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 40 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Glücksrad

Glücksrad.svg Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.

So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.

Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.

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AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Annäherung

cos und pot.png In $[0; \pi/2]$ soll die Funktion f mit $f(x)=\cos{x}$ durch eine Potenzfunktion g mit g(x)=1-ax^q angenähert werden, wobei q eine positive rationale Zahl ist und a so gewählt wird, dass der Graph von g ebenfalls bei π/2 eine Nullstelle besitzt.

Bestimme a in Abhängigkeit von q.
Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx$
ein guter Hinweis dafür ist, dass g eine gute Näherung für f ist.
Finde eine Potenzfunktion g, die f gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.

(Bonus: Stelle f und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von f und der Annäherungsfunktion.)

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AFB III	Kompetenzen K2 K5 K4	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Lichtschalterproblem

Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.

Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.

Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:

Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
Gast 4…
…
Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.

Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.

(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind. (30min, AB II für Bonus-Aufgabe))

_{Bild: 4028mdk09, Lichtschalter mechanisch, CC BY-SA 3.0}

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AFB II	Kompetenzen K2 K1 K6 K5	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Türme von Hanoi

Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.

Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.

Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.

Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.

_{Bild: anonym, Tower of Hanoi, CC BY-SA 3.0}

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AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Die Rätsel um Johannes und Wilhelm

Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.

In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.

Teil 1
Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 2
Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 3
Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.

Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?

Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.

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AFB III	Kompetenzen K2 K1 K6	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 L’Hospital

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit $f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q},$ „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit $g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q}$ .
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten -Wert x_0 ist f(x)>g(x) für alle x>x_0 .

Betrachtet man z. B. die Funktionen $f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x$ und $g(x)= x^{100}$ , so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

(Die Regel setzt man ein, wenn für $x \rightarrow \infty$ Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen $-\infty$ oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen $+\infty$ gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für $x \rightarrow -\infty$ und für $x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}$ .

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Dr. Andreas Dinh		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Wanderung

Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
das Tal.
Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.

Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 QuadratinKreis

In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
kleineren Quadrates dar.

In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
der beiden Quadrate zueinander?

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Unendliche Quadrate

Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
Quadrate, die immer kleiner werden.

Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 11 Blaettchen

Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
Blättchen? Begründe.

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 12 Spinne

Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.

Ermittle die Länge des kürzesten Weges.

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 13 Kreismittelpunkt

Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 14 Quadrat-Spirale

In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.

Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 15 Pilot

Ein Pilot ﬂiegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille ﬂiegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinﬂug Rückenwind und ﬂiegt mit 105 km/h, beim Rückﬂug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.

Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.

Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtﬂugzeit für Hin- und Rückﬂug vorliegt.

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AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefan Rosner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 16 Aufleiten

Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion $f(x)=\frac{1}{2x}$ aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: $F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|)$ . Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von f zunächst um: $f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}$ , denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: $F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|)$ . Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.