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Version 96.1 von Holger Engels am 2023/11/23 14:55

version	line-number	content
80.1	1	{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="II" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
30.2	2	[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg\|\|style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
18.1	3
	4	Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
	5
	6	Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
	7
	8	* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
	9	* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
	10	* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
	11	* Gast 4…
	12	* …
	13	* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
	14
	15	Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
	16
80.1	17	(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind. (30min, AB II für Bonus-Aufgabe))
33.1	18
	19	(% style="text-align: right" %)
	20	,,Bild: [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
18.1	21	{{/aufgabe}}
	22
80.1	23	{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
20.1	24	[[image:Tower_of_Hanoi.jpg\|\|width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
18.1	25
	26	Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
	27
	28	Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
	29
	30	Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
	31
33.1	32	(% style="text-align: right" %)
	33	,,Bild: anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
18.1	34	{{/aufgabe}}
	35
80.1	36	{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" zeit="30" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
22.2	37	Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
	38
	39	In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
	40
	41	Teil 1
	42	Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
	43	Wer von den beiden ist was?
	44
	45	Teil 2
	46	Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
	47	Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
	48	Wer von den beiden ist was?
	49
	50	Teil 3
24.1	51	//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
22.2	52
	53	Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
	54	Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
	55	Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
	56
	57	Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
24.1	58	{{/aufgabe}}
25.1	59
80.1	60	{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
22.2	61	Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
	62	Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
54.1	63
22.2	64	Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
	65
29.1	66	[[image:Aufgabe10Plot.PNG\|\|width="1000"]]
22.2	67
	68	Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
54.1	69
22.2	70	Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
54.1	71
22.2	72	{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
54.1	73
22.2	74	(Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
	75
24.1	76	//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
	77	{{/aufgabe}}
34.1	78
56.1	79
	80
	81	{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	82	Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
	83	übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
	84	das Tal.
	85	Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
	86
	87	Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
	88	an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
	89	{{/aufgabe}}
58.1	90
	91	{{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
59.1	92	[[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG\|\|width="200" style="float: right"]]
58.1	93	In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
	94	Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
	95	kleineren Quadrates dar.
	96
	97	In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
	98	der beiden Quadrate zueinander?
	99	{{/aufgabe}}
61.1	100
63.1	101
64.1	102
61.1	103	{{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	104	[[image:unendlicheQuadrate.PNG\|\|width="250" style="float: right"]]
	105
	106	Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
	107	zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
	108	Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
	109	Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
	110	Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
	111	Quadrate, die immer kleiner werden.
	112
66.1	113	Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
61.1	114	{{/aufgabe}}
65.1	115
64.1	116	{{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	117	[[image:Blaettchen.PNG\|\|width="340" style="float: right"]]
	118	Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
	119	Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
	120	Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
66.1	121	Blättchen? Begründe.
64.1	122	{{/aufgabe}}
68.1	123
	124	{{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
71.1	125	[[image:SpinneSchachtel.png\|\|width="240" style="float: right"]]
68.1	126	Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
	127
69.1	128	Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
68.1	129	{{/aufgabe}}
73.1	130
76.1	131	{{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	132	Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
	133
	134	Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
	135	{{/aufgabe}}
	136
73.1	137	{{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	138	In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
	139
	140	Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
74.1	141	[[image:Quadratspirale.PNG\|\|width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
73.1	142	{{/aufgabe}}
75.1	143
	144	{{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
	145	Ein Pilot ﬂiegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille ﬂiegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
	146	Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinﬂug Rückenwind und ﬂiegt mit 105 km/h, beim Rückﬂug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
	147
	148	Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
	149
	150	Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtﬂugzeit für Hin- und Rückﬂug vorliegt.
	151	{{/aufgabe}}
81.1	152
82.1	153	{{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
81.1	154	Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(\|2x\|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(\|x\|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
	155	{{/aufgabe}}
	156
83.1	157
85.1	158	{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	159	Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
	160	sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
87.1	161	[[image:Gaußsche Summenformel.PNG\|\|width="420"]]
83.1	162
85.1	163	{{lehrende}}
	164	Variante 1:Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
	165	Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
	166
	167	Variante 2: Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
	168	Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
	169	Schüler 1: 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
	170	Schüler 2: 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
	171	Schüler 3: 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
	172	Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
	173	die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
	174	{{/lehrende}}
	175	{{/aufgabe}}
	176
89.1	177	{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	178	„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
90.1	179
89.1	180	{{lehrende}}
	181	Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
90.1	182	{{/lehrende}}
	183
89.1	184	Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
	185	[[image:Nichomachus.PNG\|\|width="420"]]
90.1	186
89.1	187	Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
	188	{{/aufgabe}}
85.1	189
91.1	190	{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	191
	192	{{lehrende}}
	193	Variante 1: offene Aufgabe für den Unterricht
	194
	195	Aufgabe 1
	196
	197	Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	198
92.1	199	{{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
91.1	200
	201	Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	202
	203	Aufgabe 2
	204
	205	Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	206
	207	Aufgabe 3
	208
92.1	209	Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
91.1	210	Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	211
93.1	212	Variante 2: Klassenarbeitsaufgabe
91.1	213
	214	Aufgabe 1.1
	215	Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	216	{{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
	217	a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	218	b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
	219
	220	Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
	221
	222	Aufgabe 1.2
	223
	224	Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
92.1	225	{{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
91.1	226	Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
	227	{{/lehrende}}
	228
	229	{{/aufgabe}}

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