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Lösung Funktionsschar Graph

Version 1.1 von akukin am 2024/10/02 20:12

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont Wegen e^{a\cdot x}>0 sind die Funktionswerte x\cdot e^{a\cdot x} von f_a für negative x-Werte ebenfalls negativ.
Erläuterung der Lösung Für x<0 ist der erste Faktor des Funktionsterms x logischerweise negativ. Der zweite Faktor ist jedoch ein Exponentialterm, und für Exponentialterme gilt, dass sie immer positive Werte annehmen.
Ein Produkt aus einem negativen Faktor und einem positiven Faktor ist selbst negativ. Folglich verläuft der Graph links von der y-Achse unterhalb der x-Achse.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Wegen \lim\below{x\rightarrow+\infty}{f_a\left(x\right)}=+\infty für a>0 ist die Abbildung 1 aufgrund des Fehlens weiterer Extrempunkte ausgeschlossen.
Erläuterung der Lösung Für ein positives a geht x\cdot e^{a\cdot x} für x\rightarrow+\infty selbst gegen unendlich, da beide Faktoren beliebig groß werden.
Für x\rightarrow-\infty sieht die Sache jedoch komplizierter aus, denn x geht gegen negativ unendlich, aber e^{a\cdot x} geht gegen null. Da in solchen Situationen jedoch der Exponentialterm „gewinnt“, geht der gesamte Funktionsterm gegen null.
Nur der Graph in Abbildung 2 zeigt dieses Verhalten für x\rightarrow+\infty und x\rightarrow-\infty.Hier sind die Graphen für a\in\left\{0,1;0,2;0,3;\ldots;1,9;2\right\} abgebildet.