Wiki-Quellcode von Lösung Funktionsschar Graph
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| author | version | line-number | content |
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe 1 === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | Wegen {{formula}}e^{a\cdot x}>0{{/formula}} sind die Funktionswerte {{formula}}x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}} von {{formula}}f_a{{/formula}} für negative <i>x</i>-Werte ebenfalls negativ. | ||
| 4 | {{/detail}} | ||
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| 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 8 | Für {{formula}}x<0{{/formula}} ist der erste Faktor des Funktionsterms {{formula}}x{{/formula}} logischerweise negativ. Der zweite Faktor ist jedoch ein Exponentialterm, und für Exponentialterme gilt, dass sie immer positive Werte annehmen. | ||
| 9 | <br> | ||
| 10 | Ein Produkt aus einem negativen Faktor und einem positiven Faktor ist selbst negativ. Folglich verläuft der Graph links von der <i>y</i>-Achse unterhalb der <i>x</i>-Achse. | ||
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| 13 | {{/detail}} | ||
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| 15 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 16 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 17 | Wegen {{formula}}\lim\below{x\rightarrow+\infty}{f_a\left(x\right)}=+\infty{{/formula}} für {{formula}}a>0{{/formula}} ist die Abbildung 1 aufgrund des Fehlens weiterer Extrempunkte ausgeschlossen. | ||
| 18 | {{/detail}} | ||
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| 21 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 22 | Für ein positives {{formula}}a{{/formula}} geht {{formula}}x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow+\infty{{/formula}} selbst gegen unendlich, da beide Faktoren beliebig groß werden. | ||
| 23 | <br> | ||
| 24 | Für {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}} sieht die Sache jedoch komplizierter aus, denn {{formula}}x{{/formula}} geht gegen negativ unendlich, aber {{formula}}e^{a\cdot x}{{/formula}} geht gegen null. Da in solchen Situationen jedoch der Exponentialterm „gewinnt“, geht der gesamte Funktionsterm gegen null. | ||
| 25 | <br> | ||
| 26 | Nur der Graph in Abbildung 2 zeigt dieses Verhalten für {{formula}}x\rightarrow+\infty{{/formula}} und {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}}. | ||
| 27 | |||
| 28 | Hier sind die Graphen für {{formula}}a\in\left\{0,1;0,2;0,3;\ldots;1,9;2\right\}{{/formula}} abgebildet. | ||
| 29 | {{/detail}} | ||
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