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Wiki-Quellcode von Lösung Funktionsschar Graph

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/02 20:14
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Wegen {{formula}}e^{a\cdot x}>0{{/formula}} sind die Funktionswerte {{formula}}x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}} von {{formula}}f_a{{/formula}} für negative <i>x</i>-Werte ebenfalls negativ.
4 {{/detail}}
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7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Für {{formula}}x<0{{/formula}} ist der erste Faktor des Funktionsterms {{formula}}x{{/formula}} logischerweise negativ. Der zweite Faktor ist jedoch ein Exponentialterm, und für Exponentialterme gilt, dass sie immer positive Werte annehmen.
9 <br>
10 Ein Produkt aus einem negativen Faktor und einem positiven Faktor ist selbst negativ. Folglich verläuft der Graph links von der <i>y</i>-Achse unterhalb der <i>x</i>-Achse.
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13 {{/detail}}
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15 === Teilaufgabe 2 ===
16 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
17 Wegen {{formula}}\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{f_a\left(x\right)}=+\infty{{/formula}} für {{formula}}a>0{{/formula}} ist die Abbildung 1 aufgrund des Fehlens weiterer Extrempunkte ausgeschlossen.
18 {{/detail}}
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21 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22 Für ein positives {{formula}}a{{/formula}} geht {{formula}}x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow+\infty{{/formula}} selbst gegen unendlich, da beide Faktoren beliebig groß werden.
23 <br>
24 Für {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}} sieht die Sache jedoch komplizierter aus, denn {{formula}}x{{/formula}} geht gegen negativ unendlich, aber {{formula}}e^{a\cdot x}{{/formula}} geht gegen null. Da in solchen Situationen jedoch der Exponentialterm „gewinnt“, geht der gesamte Funktionsterm gegen null.
25 <br>
26 Nur der Graph in Abbildung 2 zeigt dieses Verhalten für {{formula}}x\rightarrow+\infty{{/formula}} und {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}}.
27 [[image:Graphenverschiedenea.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
28 <br>
29 Hier sind die Graphen für {{formula}}a\in\left\{0,1;0,2;0,3;\ldots;1,9;2\right\}{{/formula}} abgebildet.
30 {{/detail}}