Lösung Rechteck im Graphen

Das Rechteck geht vom Ursprung nach rechts bis zur zweiten Nullstelle (Berührstelle) von G und von dort nach unten bis zur Geraden {{formula}}h{{/formula}}, da die Diagonale des Rechtecks auf {{formula}}h{{/formula}} liegen soll.

36

37

38

Die Breite des Rechtecks ist der Abstand der beiden Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}:

39

40

{{formula}}f\left(x\right)=0{{/formula}}

41

42

{{formula}}x^3-2ax^2+a^2x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x^2-2ax+a^2\right)=0{{/formula}}

43

44

Zweite Binomische Formel:

45

46

{{formula}}x\left(x-a\right)^2=0{{/formula}}

47

48

Satz vom Nullprodukt:

49

50

{{formula}}x=0 \ \vee \ x=a{{/formula}}

51

52

Die Breite des Rechtecks ist folglich {{formula}}\left|a\right| {{/formula}}(Betrag von {{formula}}a{{/formula}}, da {{formula}}a{{/formula}} auch negativ sein kann, die Breite des Rechtecks jedoch nicht.)

53

54

55

Für die noch fehlende Höhe des Rechtecks benötigen wir die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}}:

56

57

{{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}}

58

59

Steigung der Tangente an //G// im Ursprung:

60

{{formula}}f^\prime\left(0\right)=a^2{{/formula}}

61

62

Da die Gerade {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf dieser Tangente steht, ist die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}:

63

{{formula}}m=-\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=-\frac{1}{a^2}{{/formula}}

64

65

Da {{formula}}h{{/formula}} eine Ursprungsgerade ist, lautet ihre Gleichung:

66

67

{{formula}}h\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x{{/formula}}

68

69

Um die Höhe des Rechtecks zu berechnen, setzen wir die zweite Nullstelle {{formula}}x=a{{/formula}} in die Gleichung von {{formula}}h{{/formula}} ein:

70

{{formula}}h\left(a\right)=-\frac{1}{a^2}a=-\frac{1}{a}{{/formula}}

71

72

Die Höhe ist folglich

73

{{formula}}\left|-\frac{1}{a}\right|{{/formula}}

74

75

Der Flächeninhalt ergibt sich also zu {{formula}}\left|a\right|\cdot\left|-\frac{1}{a}\right|=a\cdot\frac{1}{a}=1{{/formula}}

76

was unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist (was zu beweisen war).

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Wiki-Quellcode von Lösung Rechteck im Graphen

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		16	{{formula}}f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2{{/formula}}
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		18	Die Steigung von h beträgt
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		22	so dass {{formula}}h{{/formula}} durch den Term
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		35	Das Rechteck geht vom Ursprung nach rechts bis zur zweiten Nullstelle (Berührstelle) von <i>G</i> und von dort nach unten bis zur Geraden {{formula}}h{{/formula}}, da die Diagonale des Rechtecks auf {{formula}}h{{/formula}} liegen soll.
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		38	Die Breite des Rechtecks ist der Abstand der beiden Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}:
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		44	Zweite Binomische Formel:
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		48	Satz vom Nullprodukt:
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		52	Die Breite des Rechtecks ist folglich {{formula}}\left\|a\right\| {{/formula}}(Betrag von {{formula}}a{{/formula}}, da {{formula}}a{{/formula}} auch negativ sein kann, die Breite des Rechtecks jedoch nicht.)
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		62	Da die Gerade {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf dieser Tangente steht, ist die Steigung von {{formula}}h{{/formula}}:
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unfertig	fertig
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