Wiki-Quellcode von Lösung Analysis 1
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | === Teilaufgabe 1 === | ||
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
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| 4 | {{/detail}} | ||
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| 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 8 | Eine Nullstelle ist durch den Punkt {{formula}}N(4│0){{/formula}} gegeben. Da der Graph punktsymmetrisch sein soll, muss es bei {{formula}}x=-4{{/formula}} ebenfalls eine Nullstelle geben. Zudem ist durch die Punktsymmetrie festgelegt, dass der Graph durch den Ursprung geht. | ||
| 9 | <br> | ||
| 10 | Da der Wertebereich {{formula}}W_f=[-2;2]{{/formula}} ist, muss der Hochpunkt bei {{formula}}y=2{{/formula}} liegen und der Tiefpunkt bei {{formula}}y=-2{{/formula}}. Die x-Koordinaten sind jedoch nicht bekannt, können also näherungsweise (jedoch symmetrisch) skizziert werden. | ||
| 11 | <br> | ||
| 12 | Durch die zusätzliche Information {{formula}}f^\prime (0)<0{{/formula}} ist festgelegt, dass der Graph mit negativer Steigung durch den Ursprung verläuft. Folglich müssen der Hochpunkt links und der Tiefpunkt rechts liegen. | ||
| 13 | {{/detail}} | ||
| 14 | |||
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| 16 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 17 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 18 | Möglicher Ansatz: {{formula}}g(x)=sin(bx){{/formula}} | ||
| 19 | <br> | ||
| 20 | Periode: {{formula}}p=8 \implies b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}{{/formula}} | ||
| 21 | <br> | ||
| 22 | Damit: {{formula}}g(x)=sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}} | ||
| 23 | {{/detail}} | ||
| 24 | |||
| 25 | |||
| 26 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 27 | Die allgemeine Sinusfunktion hat den Term {{formula}}g(x)=a sin(b(x-c))+d {{/formula}} | ||
| 28 | <br> | ||
| 29 | Da die Amplitude nicht festgelegt ist, kann {{formula}}a=1{{/formula}} gewählt werden. Eine Verschiebung ist auch nicht notwendig, also {{formula}}c=0{{/formula}} und {{formula}}d=0 {{/formula}}. | ||
| 30 | <br> | ||
| 31 | Ein möglicher Ansatz lautet folglich: {{formula}}g(x)=sin(bx) {{/formula}} | ||
| 32 | <br> | ||
| 33 | Der Parameter {{formula}}b {{/formula}} ist mit der Periode {{formula}}p{{/formula}} der Sinuswelle verknüpft: {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}{{/formula}} | ||
| 34 | Eine Wellenlänge geht von {{formula}}x_1=-4{{/formula}} bis {{formula}}x_2=4 {{/formula}}. Die Periode ist also {{formula}}p=8{{/formula}}. Eingesetzt ergibt sich {{formula}}b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}{{/formula}}. | ||
| 35 | <br> | ||
| 36 | Damit lautet die Funktionsgleichung: {{formula}}g(x)=sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}} | ||
| 37 | {{/detail}} |