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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis 1

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/12/15 20:43
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:GraphSkizze.png||width="320" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 [[image:GraphSkizze.png||width="320" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
9 <p>
10 Eine Nullstelle ist durch den Punkt {{formula}}N(4|0){{/formula}} gegeben. Da der Graph punktsymmetrisch sein soll, muss es bei {{formula}}x=-4{{/formula}} ebenfalls eine Nullstelle geben. Zudem ist durch die Punktsymmetrie festgelegt, dass der Graph durch den Ursprung geht.
11 </p><p>
12 Da der Wertebereich {{formula}}W_f=[-2;2]{{/formula}} ist, muss der Hochpunkt bei {{formula}}y=2{{/formula}} liegen und der Tiefpunkt bei {{formula}}y=-2{{/formula}}. Die x-Koordinaten sind jedoch nicht bekannt, können also näherungsweise (jedoch symmetrisch) skizziert werden.
13 </p>
14 Durch die zusätzliche Information {{formula}}f^\prime (0)<0{{/formula}} ist festgelegt, dass der Graph mit negativer Steigung durch den Ursprung verläuft. Folglich müssen der Hochpunkt links und der Tiefpunkt rechts liegen.
15 {{/detail}}
16
17
18 === Teilaufgabe b) ===
19 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
20 Möglicher Ansatz: {{formula}}g(x)=\sin⁡(bx){{/formula}}
21 <br>
22 Periode: {{formula}}p=8 \implies b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
23 <br>
24 Damit: {{formula}}g(x)=\sin\left⁡(\frac{\pi}{4}x\right){{/formula}}
25 {{/detail}}
26
27
28 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
29 Die allgemeine Sinusfunktion hat den Term {{formula}}g(x)=a \sin⁡(b(x-c))+d {{/formula}}
30 <br><p>
31 Da die Amplitude nicht festgelegt ist, kann {{formula}}a=1{{/formula}} gewählt werden. Eine Verschiebung ist auch nicht notwendig, also {{formula}}c=0{{/formula}} und {{formula}}d=0 {{/formula}}.
32 </p>
33 Ein möglicher Ansatz lautet folglich: {{formula}}g(x)=\sin⁡(bx) {{/formula}}
34 <br><p>
35 Der Parameter {{formula}}b {{/formula}} ist mit der Periode {{formula}}p{{/formula}} der Sinuswelle verknüpft: {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}{{/formula}}
36 Eine Wellenlänge geht von {{formula}}x_1=-4{{/formula}} bis {{formula}}x_2=4 {{/formula}}. Die Periode ist also {{formula}}p=8{{/formula}}. Eingesetzt ergibt sich {{formula}}b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
37 </p>
38 Damit lautet die Funktionsgleichung: {{formula}}g(x)=\sin⁡ \left(\frac{\pi}{4}x\right){{/formula}}
39 {{/detail}}