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2024 eAN - Teil A - Wahlaufgabe und Problemlöseaufgabe

Zuletzt geändert von akukin am 2025/02/13 17:19

Die Abbildung zeigt den Graphen G_f der in \mathbb{R} definierten Funktion f: x \mapsto e^{-x}-e^{-2x}.
G_f schneidet die x-Achse an der Stelle x_1=0 und hat einen Hochpunkt an der Stelle x_H.
GraphAnalysisA5.12024.png

  1. [2 BE] Weise rechnerisch nach, dass x_1 die einzige Nullstelle von f ist.
  2. [3 BE] Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
    1. f^{\prime \prime} (0,5)>0
    2. \int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H ) 
Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2II       I  11
b3II     II   III  3

Gegeben ist die Funktion f mit  f(x)=(x^2-4)\cdot(x-1) mit x\in \mathbb{R} . Ihr Graph ist K_f.

  1. [1 BE] Gib die Nullstellen von f  an.
  2. [4 BE] Ermittle eine Gleichung der Tangente an K_f im Schnittpunkt von K_f mit der y-Achse.
    Zeige, dass diese Tangente mit  K_f  einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat. 
Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a1I       I  1
b4III     IIIII III 13

Gegeben sind die beiden 2x2-Matrizen A und B sowie der Vektor \vec{v}.

A=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{v}=\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)

  1. [2 BE] Zeige rechnerisch, dass B eine inverse Matrix zu A ist.
  2. [3 BE] Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann. 

\begin{align} 2v_1-v_2&=1 \\ -3v_1+v_2&=2 \end{align}

Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2II      III  11
b3      III 3

Für eine reelle Zahl a ist die Gerade g durch g: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\2\\3 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a \end{matrix}\right) mit t\in\mathbb{R} gegeben.
Außerdem wird die Ebene E beschrieben durch E: x_1+x_2=3

  1. [2 BE] Bestimme den Wert von a so, dass sich g und E orthogonal schneiden.
  2. [3 BE] Für a=1,5 schneidet g die x_1-Achse im Punkt P und die Ebene E im Punkt S\left(1\left|2\right|3\right). Zudem ist der Punkt Q\left(1\left|2\right|0\right) bekannt.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks PQS. 
Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2I      II  11
b3     III II 3

[10 BE] Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Ihre Vorgehensweise.

Drei zufällig mit derselben Wahrscheinlichkeit gewählte, verschiedene Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (d. h. alle Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel betragen 108°) werden zu einem Dreieck verbunden.

Untersuche, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Mittelpunkt des Fünfecks innerhalb des Dreiecks liegt.

Bewertungseinheiten gesamt   10
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
10IIIIII  IIIII226