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Lösung Analysis 5_1

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 09:59

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) \( f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0 \)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Weise rechnerisch nach, dass \(x_1\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist.

Lösung An den Nullstellen gilt immer \(f(x)=0\). Diese Gleichung kann nach x aufgelöst werden:
\( f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0 \)
Die Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich \(x_1=0\).

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Aussage 1

Der Graph von \(f\) ist an der Stelle \(x=0,5\) rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von \(f\) negativ und die Aussage damit falsch.

Aussage 2
\(A_1=\int_0^2f(x)dx\) Flächeninhalt zwischen \(G_f\)und der x-Achse auf \([0;2]\)

\(A_2=2\cdot f(x_H)\) Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe \(f(x_H)\)

Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass \(A_2\) größer als \(A_1\) und die Aussage damit wahr ist.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.

  1. \(f^{\prime \prime} (0,5)>0\)
  2. \(\int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H)\)
Lösung
Aussage 1

Der Graph von \(f\) ist an der Stelle \(x=0,5\) rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von \(f\) negativ und die Aussage damit falsch.

Aussage 2
\(A_1=\int_0^2f(x)dx\)

Dieser Term entspricht dem Flächeninhalt zwischen \(G_f\) und der x-Achse im Intervall \([0;2]\) (orange gestreift in der obigen Abbildung).

\(A_2=2\cdot f(x_H)\)

Dieser Term gibt den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe \(f(x_H)\) wieder, das in der obigen Abbildung blau eingefärbt ist.

Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass \(A_2\) größer als \(A_1\) und die Aussage damit wahr ist.GraphlösungA5.1.PNG