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Lösung Analysis 5_1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/15 21:25

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Weise rechnerisch nach, dass x_1 die einzige Nullstelle von f ist.

Lösung An den Nullstellen gilt immer f(x)=0. Diese Gleichung kann nach x aufgelöst werden:
f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0
Die Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich x_1=0.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Aussage 1

Der Graph von f ist an der Stelle x=0,5 rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von f negativ und die Aussage damit falsch.

Aussage 2
A_1=\int_0^2f(x)dx Flächeninhalt zwischen G_fund der x-Achse auf \left[0;2\left]

A_2=2\cdot f(x_H) Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe f(x_H)

Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass A_2 größer als A_1 und die Aussage damit wahr ist.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.

  1. f^{\prime \prime} (0,5)>0
  2. \int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H)
Lösung
Aussage 1

Der Graph von f ist an der Stelle x=0,5 rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von f negativ und die Aussage damit falsch.

Aussage 2
A_1=\int_0^2f(x)dx

Dieser Term entspricht dem Flächeninhalt zwischen G_f und der x-Achse im Intervall \left[0;2\left] (orange gestreift in der obigen Abbildung).

A_2=2\cdot f(x_H)

Dieser Term gibt den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe f(x_H) wieder, das in der obigen Abbildung blau eingefärbt ist.

Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass A_2 größer als A_1 und die Aussage damit wahr ist.GraphlösungA5.1.PNG