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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis 5_1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/15 21:25
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}} f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0 {{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Weise rechnerisch nach, dass {{formula}}x_1{{/formula}} die einzige Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} ist.
11 </p>
12 //Lösung//
13 An den Nullstellen gilt immer {{formula}}f(x)=0{{/formula}}. Diese Gleichung kann nach x aufgelöst werden:
14 <br>
15 {{formula}} f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0 {{/formula}}
16 <br>
17 Die Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich {{formula}}x_1=0{{/formula}}.
18
19 {{/detail}}
20
21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 //Aussage 1//
24 <br><p>
25 Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist an der Stelle {{formula}}x=0,5{{/formula}} rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von {{formula}}f{{/formula}} negativ und die Aussage damit falsch.
26 </p>
27 //Aussage 2//
28 <br>
29 {{formula}}A_1=\int_0^2f(x)dx{{/formula}} Flächeninhalt zwischen {{formula}}G_f{{/formula}}und der x-Achse auf {{formula}}\left[0;2\left]{{/formula}}
30 <br><p>
31 {{formula}}A_2=2\cdot f(x_H){{/formula}} Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe {{formula}}f(x_H){{/formula}}
32 </p>
33 Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass {{formula}}A_2{{/formula}} größer als {{formula}}A_1{{/formula}} und die Aussage damit wahr ist.
34 {{/detail}}
35
36
37 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
38 //Aufgabenstellung//
39 <p>
40 Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
41 (((
42 1. {{formula}}f^{\prime \prime} (0,5)>0{{/formula}}
43 1. {{formula}}\int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H){{/formula}})))
44 </p>
45 //Lösung//
46 <br>
47 //Aussage 1//
48 <br><p>
49 Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist an der Stelle {{formula}}x=0,5{{/formula}} rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von {{formula}}f{{/formula}} negativ und die Aussage damit falsch.
50 </p>
51 //Aussage 2//
52 <br>
53 {{formula}}A_1=\int_0^2f(x)dx{{/formula}}
54 <br><p>
55 Dieser Term entspricht dem Flächeninhalt zwischen {{formula}}G_f{{/formula}} und der x-Achse im Intervall {{formula}}\left[0;2\left]{{/formula}} (orange gestreift in der obigen Abbildung).
56 </p>
57 {{formula}}A_2=2\cdot f(x_H){{/formula}}
58 <br><p>
59 Dieser Term gibt den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe {{formula}}f(x_H){{/formula}} wieder, das in der obigen Abbildung blau eingefärbt ist.
60 </p>
61 Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass {{formula}}A_2{{/formula}} größer als {{formula}}A_1{{/formula}} und die Aussage damit wahr ist.
62
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64 [[image:GraphlösungA5.1.PNG||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
65 {{/detail}}