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Lösung Lineare Algebra 5_3

Version 2.1 von akukin am 2024/12/23 13:05

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont

A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)

Hinweis: Die Berechnung von B\cdot A ist ebenso zulässig.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige rechnerisch, dass B eine inverse Matrix zu A ist.

Lösung
Zwei Matrizen sind invers zueinander, wenn ihr Produkt die Einheitsmatrix ergibt:
A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)

Da dieses Produkt die Einheitsmatrix ergibt, ist B eine inverse Matrix zu A.

Hinweis: Die Berechnung von B\cdot A ist ebenso zulässig.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Wie lauten die Koordinaten eines Vektors \vec{v}, wenn das Produkt A\cdot\vec{v} den Vektor \left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right) ergibt?
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann.\begin{align} 2v_1-v_2&=1 \\ -3v_1+v_2&=2 \end{align}

Lösung
Wendet man die Matrix A auf den Vektor \vec{v} an, so ergibt sich die linke Seite des Gleichungssystems:
A\cdot\vec{v}=\left(\begin{matrix} 2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right)

Die linke Seite des Gleichungssystems muss gleich der rechten Seite sein. In Vektorschreibweise:
\left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)

Also wäre eine mögliche Fragestellung:
Wie lauten die Koordinaten eines Vektors \vec{v}, wenn das Produkt A\cdot\vec{v} den Vektor \left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right) ergibt?