Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -44,15 +44,24 @@
44	44	</p>
45	45	//Lösung//
46	46	<br>
47		-Neben der Funktionsgleichung von f werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
	47	+Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
	48	+<br><p>
48	48	{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
	50	+</p>
49	49	An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
	52	+<br><p>
50	50	{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
	54	+</p>
51	51	Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
	56	+<br>
52	52	{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
	58	+<br>
53	53	(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
	60	+<br>
54	54	{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
	62	+<br>
55	55	(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
	64	+{{/detail}}
56	56
57	57	=== Teilaufgabe c) ===
58	58	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
...	...	@@ -59,10 +59,23 @@
59	59	{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
60	60	{{/detail}}
61	61
	71	+
	72	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	73	+//Aufgabenstellung//
	74	+<br><p>
	75	+Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
	76	+</p>
	77	+//Lösung//
	78	+<br>
	79	+Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
	80	+<br>
	81	+{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
	82	+{{/detail}}
	83	+
62	62	=== Teilaufgabe d) ===
63	63	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
64	64	<p>
65		-Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
	87	+Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
66	66	</p><p>
67	67	Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
68	68	</p>
...	...	@@ -71,6 +71,34 @@
71	71	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
72	72	{{/detail}}
73	73
	96	+
	97	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	98	+//Aufgabenstellung//
	99	+<br><p>
	100	+Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	101	+<br>
	102	+Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
	103	+</p>
	104	+//Lösung//
	105	+<br>
	106	+Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
	107	+<br>
	108	+[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	109	+<br><p>
	110	+Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
	111	+</p>
	112	+Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
	113	+<br></p>
	114	+{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
	115	+</p><p>
	116	+Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
	117	+</p>
	118	+{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
	119	+<br>
	120	+Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
	121	+
	122	+{{/detail}}
	123	+
74	74	=== Teilaufgabe e) ===
75	75	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
76	76	<p>