Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -105,20 +105,19 @@
105	105	<br>
106	106	Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107	107	<br>
108		-[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	108	+[[image:1d)Hinweis2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109	109	<br><p>
110	110	Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111	111	</p>
112	112	Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113		-<br></p>
	113	+<br><p>
114	114	{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115	115	</p><p>
116	116	Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117		-</p>
	117	+<br>
118	118	{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119	119	<br>
120	120	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121		-
122	122	{{/detail}}
123	123
124	124	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -139,3 +139,34 @@
139	139	Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
140	140	{{/detail}}
141	141
	141	+
	142	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	143	+//Aufgabenstellung//
	144	+<br><p>
	145	+Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
	146	+</p>
	147	+//Lösung//
	148	+<br>
	149	+Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
	150	+<br>
	151	+[[image:1e)Hinweis1.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	152	+<br>
	153	+Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
	154	+<br><p>
	155	+{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
	156	+</p>
	157	+Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks {{formula}}OWS{{/formula}}:
	158	+<br>
	159	+
	160	+{{formula}}
	161	+\begin{align*}
	162	+A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
	163	+&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
	164	+\end{align*}
	165	+{{/formula}}
	166	+
	167	+<br>
	168	+Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
	169	+<br>
	170	+{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
	171	+{{/detail}}