Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} | ||
| 3 | <p> | ||
| 4 | {{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 5 | </p><p> | ||
| 6 | {{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 7 | </p> | ||
| 8 | {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 9 | {{/detail}} | ||
| |
5.1 | 10 | |
| 11 | |||
| 12 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 13 | //Aufgabenstellung// | ||
| 14 | <br><p> | ||
| 15 | Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann. | ||
| 16 | [[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] | ||
| 17 | </p> | ||
| 18 | //Lösung// | ||
| 19 | <br><p> | ||
| 20 | {{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 21 | </p><p> | ||
| 22 | {{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 23 | </p> | ||
| 24 | {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. | ||
| 25 | {{/detail}} | ||
| 26 | |||
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1.1 | 27 | === Teilaufgabe b) === |
| 28 | {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} | ||
| 29 | <p> | ||
| 30 | {{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}} | ||
| 31 | </p><p> | ||
| 32 | {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}} | ||
| 33 | </p><p> | ||
| 34 | {{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}} | ||
| 35 | </p> | ||
| 36 | {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}} | ||
| 37 | {{/detail}} | ||
| 38 | |||
| |
5.1 | 39 | |
| 40 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 41 | //Aufgabenstellung// | ||
| 42 | <br><p> | ||
| 43 | Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt. | ||
| 44 | </p> | ||
| 45 | //Lösung// | ||
| 46 | <br> | ||
| 47 | Neben der Funktionsgleichung von f werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt: | ||
| 48 | {{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}} | ||
| 49 | An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann: | ||
| 50 | {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}} | ||
| 51 | Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt. | ||
| 52 | {{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}} | ||
| 53 | (Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.) | ||
| 54 | {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}} | ||
| 55 | (Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.) | ||
| 56 | |||
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1.1 | 57 | === Teilaufgabe c) === |
| 58 | {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} | ||
| 59 | {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}} | ||
| 60 | {{/detail}} | ||
| 61 | |||
| 62 | === Teilaufgabe d) === | ||
| 63 | {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} | ||
| 64 | <p> | ||
| 65 | Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}} | ||
| 66 | </p><p> | ||
| 67 | Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}} | ||
| 68 | </p> | ||
| 69 | {{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}. | ||
| 70 | <br> | ||
| 71 | Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten. | ||
| 72 | {{/detail}} | ||
| 73 | |||
| 74 | === Teilaufgabe e) === | ||
| 75 | {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} | ||
| 76 | <p> | ||
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1.2 | 77 | Flächeninhalt des gesamten Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}} |
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1.1 | 78 | </p><p> |
| 79 | Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb von {{formula}}K{{/formula}} liegt: | ||
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1.3 | 80 | |
| 81 | {{formula}} | ||
| 82 | \begin{align*} | ||
| 83 | A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\ | ||
| 84 | &=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15} | ||
| 85 | \end{align*} | ||
| 86 | {{/formula}} | ||
| 87 | |||
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1.1 | 88 | </p> |
| 89 | Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}} | ||
| 90 | {{/detail}} | ||
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5.1 | 91 |