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Lösung Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/24 15:01

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Ermittle den Wert von a.

Lösung
Der Parameter a kann durch eine Punktprobe mit dem Punkt \left(1\middle|-1\right) berechnet werden:
f(1)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^2\cdot(1-4)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3a=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}

f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}

Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei x=\frac{8}{3} liegt.
f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von K_f.

Lösung
Zuerst muss der Funktionsterm ausmultipliziert werden:
f(x)=\frac{1}{3}\cdot x^2\cdot(x-4)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2
Zur Bestimmung eines Tiefpunkts können die erste und zweite Ableitung herangezogen werden:
f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}

An einer Extremstelle ist die erste Ableitung Null:
f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}

Setzt man diese beiden Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat, in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt ist:
f^{\prime\prime}(0)=-\frac{8}{3}<0, das heißt der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Es handelt sich also um eine Hochstelle.

f^{\prime\prime}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}>0, das heißt der Graph ist dort linksgekrümmt. Es handelt sich also um die gesuchte Tiefstelle.

Für die y-Koordinate des Tiefpunkts wird die x-Koordinate in den Funktionsterm von f eingesetzt:
f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0 Somit ist x=\frac{4}{3} Wendestelle.
Steigung der Wendetangente: f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}
Schnittwinkel mit der x-Achse: \left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente w an K_f die x-Achse schneidet.

Lösung
Zuerst muss die Wendestelle bestimmt werden. Dazu wird die zweite Ableitung Null gesetzt:

f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3}

Mit Hilfe der dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt
f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0

Somit ist x=\frac{4}{3} Wendestelle.

Für die Steigung der Wendetangente kann die x-Koordinate der Wendestelle in den Funktionsterm der ersten Ableitung eingesetzt werden:
f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}
Die Steigung m einer Geraden und ihr Schnittwinkel \alpha mit der x-Achse sind verknüpft:

m=\tan{(\alpha)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \alpha=\tan^{-1}{(m)}

\alpha=\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ Da Schnittwinkel immer als positive Größen angegeben werden, ist 61° das Ergebnis.

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) s^{\prime\prime}(x)=2x
f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Der Graph der in \mathbb{R} definierten Funktion s geht aus K_f durch Verschiebung um \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x.
Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von s^{\prime\prime}, dass K_f an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.

Lösung
s^{\prime\prime}(x)=2x
Da der Graph von s gegenüber dem Graphen von f um \frac{4}{3} nach links verschoben ist, kann f^{\prime\prime}(1) ermittelt werden, indem s^{\prime\prime}\left(1-\frac{4}{3}\right) berechnet wird:
f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0
Da die zweite Ableitung negativ ist, muss der Graph dort rechtsgekrümmt sein.

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) Der Wert u_1=3 ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Der Ursprung, der Punkt P\left(u\middle|0\right) und der Punkt Q\left(u\middle| f(u)\right) bilden für 0,5\le u\le3,5 im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A(u).
Erläutere die Bedeutung der Stelle u_1, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3
Dabei gilt: A^{\prime\prime}(3)<0 und A(0,5)<A(3) und A(3,5)<A(3)
Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von s^{\prime\prime}, dass K_f an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.

Lösung

A^\prime(u_1)=0 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3 sagt aus, dass u_1 die einzige Stelle ist, an der die Ableitung des Flächeninhalts Null ist.

Da an dieser Stelle die zweite Ableitung negativ ist (A^{\prime\prime}(3)<0), handelt es sich um eine Hochstelle.

Da der der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs 0,5\le u\le3,5 jeweils kleiner ist als an der Stelle u_1=3, handelt es sich sogar um eine globale Hochstelle, und der dazugehörige y-Wert ist ein globales Maximum.

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) Gleichung der Parabel p mit p(x)=k\cdot x\cdot(x-4)
\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}
p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Eine quadratische Funktion p hat dieselben Nullstellen wie f. Die Graphen von p und f schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
Ermittle eine Gleichung von p.

Lösung
Da die Parabel p ebenfalls die Nullstellen x=0 und x=4 haben soll, kann die Parabelgleichung in Produktform angesetzt werden:

p(x)=k\cdot x\cdot(x-4) mit einem noch nicht bekannten Vorfaktor k\in\mathbb{R}.

Eine Skizze/Zeichnung kann sinnvoll sein, um die Flächen zu identifizieren:
SkizzeAufgabe1f).png

Der Streckfaktor k der roten Parabel muss so gewählt werden, dass die beiden blauen Flächen gleich groß sind.

Ein Flächeninhalt zwischen zwei Graphen kann mittels Integralrechnung bestimmt werden. Dass dabei die Orientierung (also welcher Graph über dem anderen liegt) entscheidet, ob das Integral positiv oder negativ ist, kann hier ausgenutzt werden. Wenn die beiden Flächen gleich groß sind, muss das Integral über die Differenz der beiden Funktionen Null ergeben:

\begin{align} &\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} =0 \\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} =0\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} =0 \\ &\Leftrightarrow \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 =0 \\ &\Leftrightarrow \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k =0\\ &\Leftrightarrow k=\frac{2}{3} \end{align}

p(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot(x-4)

Teilaufgabe g)

Erwartungshorizont (offiziell) h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)
h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0 mit e^{f\left(x\right)}>0
h^\prime und f^\prime haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben h und f dieselben Extremstellen.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Begründe, dass die in \mathbb{R} definierte Funktion h mit h(x)=e^{f(x)} die gleichen Extremstellen wie die Funktion f hat.

Lösung
h(x) kann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet werden:
h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)
An Extremstellen ist die erste Ableitung Null.
h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass dieser Term Null wird, wenn entweder e^{f(x)} Null wird (was nicht eintreten kann, da Exponentialterme immer positiv sind) oder f^\prime(x) Null wird.

h^\prime und f^\prime haben also die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben h und f dieselben Extremstellen.