Lösung Aufgabe 1

{{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^2\cdot(1-4)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3a=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}

17

18

19

=== Teilaufgabe b) ===

20

21

{{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}

22

23

{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}{{/formula}}

24

25

Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei {{formula}}x=\frac{8}{3}{{/formula}} liegt.

26

27

{{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von {{formula}}K_f{{/formula}}.

//Lösung//

Zuerst muss der Funktionsterm ausmultipliziert werden:

39

40

{{formula}}f(x)=\frac{1}{3}\cdot x^2\cdot(x-4)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2{{/formula}}

41

42

Zur Bestimmung eines Tiefpunkts können die erste und zweite Ableitung herangezogen werden:

43

44

{{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}

45

46

An einer Extremstelle ist die erste Ableitung Null:

47

48

{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}{{/formula}}

49

50

Setzt man diese beiden Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat, in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt ist:

51

52

{{formula}}f^{\prime\prime}(0)=-\frac{8}{3}<0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Es handelt sich also um eine Hochstelle.

53

54

{{formula}}f^{\prime\prime}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}>0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort linksgekrümmt. Es handelt sich also um die gesuchte Tiefstelle.

55

56

Für die y-Koordinate des Tiefpunkts wird die x-Koordinate in den Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} eingesetzt:

57

58

{{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}

=== Teilaufgabe c) ===

63

64

{{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}} Somit ist {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}} Wendestelle.

65

66

Steigung der Wendetangente: {{formula}}f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}{{/formula}}

67

68

Schnittwinkel mit der x-Achse: {{formula}}\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente {{formula}}w{{/formula}} an {{formula}}K_f{{/formula}} die x-Achse schneidet.

//Lösung//

Zuerst muss die Wendestelle bestimmt werden. Dazu wird die zweite Ableitung Null gesetzt:

80

81

{{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3}{{/formula}}

82

83

Mit Hilfe der dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt

84

85

{{formula}}f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}}

86

87

Somit ist {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}} Wendestelle.

88

89

Für die Steigung der Wendetangente kann die x-Koordinate der Wendestelle in den Funktionsterm der ersten Ableitung eingesetzt werden:

90

91

{{formula}}f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}{{/formula}}

92

93

Die Steigung {{formula}}m{{/formula}} einer Geraden und ihr Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} mit der x-Achse sind verknüpft:

94

95

{{formula}}m=\tan{(\alpha)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \alpha=\tan^{-1}{(m)}{{/formula}}

96

97

{{formula}}\alpha=\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ{{/formula}}

98

Da Schnittwinkel immer als positive Größen angegeben werden, ist 61° das Ergebnis.

99

100

101

=== Teilaufgabe d) ===

102

103

{{formula}}s^{\prime\prime}(x)=2x{{/formula}}

104

105

{{formula}}f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Der Graph der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}s{{/formula}} geht aus {{formula}}K_f{{/formula}} durch Verschiebung um {{formula}}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{{/formula}} in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt {{formula}}s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x{{/formula}}.

113

114

Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.

//Lösung//

{{formula}}s^{\prime\prime}(x)=2x{{/formula}}

119

120

Da der Graph von {{formula}}s{{/formula}} gegenüber dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}} um {{formula}}\frac{4}{3}{{/formula}} nach links verschoben ist, kann {{formula}}f^{\prime\prime}(1){{/formula}} ermittelt werden, indem {{formula}}s^{\prime\prime}\left(1-\frac{4}{3}\right){{/formula}} berechnet wird:

121

122

{{formula}}f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0{{/formula}}

123

124

Da die zweite Ableitung negativ ist, muss der Graph dort rechtsgekrümmt sein.

=== Teilaufgabe e) ===

129

130

Der Wert {{formula}}u_1=3{{/formula}} ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.

//Aufgabenstellung//

Der Ursprung, der Punkt {{formula}}P\left(u\middle|0\right){{/formula}} und der Punkt {{formula}}Q\left(u\middle| f(u)\right){{/formula}} bilden für {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt {{formula}}A(u){{/formula}}.

138

139

Erläutere die Bedeutung der Stelle {{formula}}u_1{{/formula}}, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:

140

141

{{formula}}A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}}

142

143

Dabei gilt: {{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}} und {{formula}}A(0,5)<A(3){{/formula}} und {{formula}}A(3,5)<A(3){{/formula}}

144

145

Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.

//Lösung//

{{formula}}A^\prime(u_1)=0 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}} sagt aus, dass {{formula}}u_1{{/formula}} die einzige Stelle ist, an der die Ableitung des Flächeninhalts Null ist.

150

151

Da an dieser Stelle die zweite Ableitung negativ ist ({{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}}), handelt es sich um eine Hochstelle.

152

153

Da der der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} jeweils kleiner ist als an der Stelle {{formula}}u_1=3{{/formula}}, handelt es sich sogar um eine globale Hochstelle, und der dazugehörige y-Wert ist ein globales Maximum.

154

155

156

=== Teilaufgabe f) ===

157

158

Gleichung der Parabel {{formula}}p{{/formula}} mit {{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}

159

160

{{formula}}\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}{{/formula}}

161

162

{{formula}}p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right){{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Eine quadratische Funktion {{formula}}p{{/formula}} hat dieselben Nullstellen wie {{formula}}f{{/formula}}. Die Graphen von {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.

170

171

Ermittle eine Gleichung von {{formula}}p{{/formula}}.

//Lösung//

Da die Parabel {{formula}}p{{/formula}} ebenfalls die Nullstellen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}} haben soll, kann die Parabelgleichung in Produktform angesetzt werden:

176

177

{{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}} mit einem noch nicht bekannten Vorfaktor {{formula}}k\in\mathbb{R}{{/formula}}.

178

179

Eine Skizze/Zeichnung kann sinnvoll sein, um die Flächen zu identifizieren:

180

181

[[image:SkizzeAufgabe1f).png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

182

183

Der Streckfaktor {{formula}}k{{/formula}} der roten Parabel muss so gewählt werden, dass die beiden blauen Flächen gleich groß sind.

184

185

Ein Flächeninhalt zwischen zwei Graphen kann mittels Integralrechnung bestimmt werden. Dass dabei die Orientierung (also welcher Graph über dem anderen liegt) entscheidet, ob das Integral positiv oder negativ ist, kann hier ausgenutzt werden. Wenn die beiden Flächen gleich groß sind, muss das Integral über die Differenz der beiden Funktionen Null ergeben:

\begin{align}

&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} =0 \\

191

&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} =0\\

192

&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} =0 \\

193

&\Leftrightarrow \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 =0 \\

194

&\Leftrightarrow \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k =0\\

195

&\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}

\end{align}

{{formula}}p(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}

=== Teilaufgabe g) ===

206

207

{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}

208

209

{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}} mit {{formula}}e^{f\left(x\right)}>0{{/formula}}

210

211

{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.

//Aufgabenstellung//

Begründe, dass die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h(x)=e^{f(x)}{{/formula}} die gleichen Extremstellen wie die Funktion {{formula}}f{{/formula}} hat.

//Lösung//

{{formula}}h(x){{/formula}} kann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet werden:

223

224

{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}

225

226

An Extremstellen ist die erste Ableitung Null.

227

228

{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}}

229

230

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass dieser Term Null wird, wenn entweder {{formula}}e^{f(x)}{{/formula}} Null wird (was nicht eintreten kann, da Exponentialterme immer positiv sind) oder {{formula}}f^\prime(x){{/formula}} Null wird.

231

232

{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben also die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.

233

Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1

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Zuletzt geändert

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	{{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}
		4	{{/detail}}
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		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	//Aufgabenstellung//
		9	<br><p>
		10	Ermittle den Wert von {{formula}}a{{/formula}}.
		11	</p>
		12	//Lösung//
		13	<br>
		14	Der Parameter {{formula}}a{{/formula}} kann durch eine Punktprobe mit dem Punkt {{formula}}\left(1\middle\|-1\right){{/formula}} berechnet werden:
		15	<br>
		16	{{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^2\cdot(1-4)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3a=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}
		17	{{/detail}}
		18
		19	=== Teilaufgabe b) ===
		20	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		21	{{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}
		22	<br><p>
		23	{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}{{/formula}}
		24	</p>
		25	Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei {{formula}}x=\frac{8}{3}{{/formula}} liegt.
		26	<br>
		27	{{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle\|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}
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		32	//Aufgabenstellung//
		33	<br><p>
		34	Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von {{formula}}K_f{{/formula}}.
		35	</p>
		36	//Lösung//
		37	<br>
		38	Zuerst muss der Funktionsterm ausmultipliziert werden:
		39	<br>
		40	{{formula}}f(x)=\frac{1}{3}\cdot x^2\cdot(x-4)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2{{/formula}}
		41	<br>
		42	Zur Bestimmung eines Tiefpunkts können die erste und zweite Ableitung herangezogen werden:
		43	<br>
		44	{{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}
		45	<br><p>
		46	An einer Extremstelle ist die erste Ableitung Null:
		47	<br>
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		49	</p>
		50	Setzt man diese beiden Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat, in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt ist:
		51	<br>
		52	{{formula}}f^{\prime\prime}(0)=-\frac{8}{3}<0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Es handelt sich also um eine Hochstelle.
		53	<br><p>
		54	{{formula}}f^{\prime\prime}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}>0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort linksgekrümmt. Es handelt sich also um die gesuchte Tiefstelle.
		55	</p>
		56	Für die y-Koordinate des Tiefpunkts wird die x-Koordinate in den Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} eingesetzt:
		57	<br>
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		59	{{/detail}}
		60
		61
		62	=== Teilaufgabe c) ===
		63	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		64	{{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}} Somit ist {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}} Wendestelle.
		65	<br>
		66	Steigung der Wendetangente: {{formula}}f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}{{/formula}}
		67	<br>
		68	Schnittwinkel mit der x-Achse: {{formula}}\left\|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right\|\approx61^\circ{{/formula}}
		69	{{/detail}}
		70
		71
		72	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		73	//Aufgabenstellung//
		74	<br><p>
		75	Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente {{formula}}w{{/formula}} an {{formula}}K_f{{/formula}} die x-Achse schneidet.
		76	</p>
		77	//Lösung//
		78	<br>
		79	Zuerst muss die Wendestelle bestimmt werden. Dazu wird die zweite Ableitung Null gesetzt:
		80	<br><p>
		81	{{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3}{{/formula}}
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		83	Mit Hilfe der dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt
		84	<br>
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		86	<br><p>
		87	Somit ist {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}} Wendestelle.
		88	</p>
		89	Für die Steigung der Wendetangente kann die x-Koordinate der Wendestelle in den Funktionsterm der ersten Ableitung eingesetzt werden:
		90	<br>
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		92	<br>
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		94	<br><p>
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		96	</p>
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		116	//Lösung//
		117	<br>
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		136	<br><p>
		137	Der Ursprung, der Punkt {{formula}}P\left(u\middle\|0\right){{/formula}} und der Punkt {{formula}}Q\left(u\middle\| f(u)\right){{/formula}} bilden für {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt {{formula}}A(u){{/formula}}.
		138	<br>
		139	Erläutere die Bedeutung der Stelle {{formula}}u_1{{/formula}}, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
		140	<br>
		141	{{formula}}A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}}
		142	<br>
		143	Dabei gilt: {{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}} und {{formula}}A(0,5)<A(3){{/formula}} und {{formula}}A(3,5)<A(3){{/formula}}
		144	<br>
		145	Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.
		146	</p>
		147	//Lösung//
		148	<br><p>
		149	{{formula}}A^\prime(u_1)=0 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}} sagt aus, dass {{formula}}u_1{{/formula}} die einzige Stelle ist, an der die Ableitung des Flächeninhalts Null ist.
		150	</p><p>
		151	Da an dieser Stelle die zweite Ableitung negativ ist ({{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}}), handelt es sich um eine Hochstelle.
		152	</p>
		153	Da der der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} jeweils kleiner ist als an der Stelle {{formula}}u_1=3{{/formula}}, handelt es sich sogar um eine globale Hochstelle, und der dazugehörige y-Wert ist ein globales Maximum.
		154	{{/detail}}
		155
		156	=== Teilaufgabe f) ===
		157	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		158	Gleichung der Parabel {{formula}}p{{/formula}} mit {{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}
		159	<br>
		160	{{formula}}\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}{{/formula}}
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		167	//Aufgabenstellung//
		168	<br><p>
		169	Eine quadratische Funktion {{formula}}p{{/formula}} hat dieselben Nullstellen wie {{formula}}f{{/formula}}. Die Graphen von {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
		170	<br>
		171	Ermittle eine Gleichung von {{formula}}p{{/formula}}.
		172	</p>
		173	//Lösung//
		174	<br>
		175	Da die Parabel {{formula}}p{{/formula}} ebenfalls die Nullstellen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}} haben soll, kann die Parabelgleichung in Produktform angesetzt werden:
		176	<br><p>
		177	{{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}} mit einem noch nicht bekannten Vorfaktor {{formula}}k\in\mathbb{R}{{/formula}}.
		178	</p>
		179	Eine Skizze/Zeichnung kann sinnvoll sein, um die Flächen zu identifizieren:
		180	<br>
		181	[[image:SkizzeAufgabe1f).png\|\|width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		182	<br><p>
		183	Der Streckfaktor {{formula}}k{{/formula}} der roten Parabel muss so gewählt werden, dass die beiden blauen Flächen gleich groß sind.
		184	</p>
		185	Ein Flächeninhalt zwischen zwei Graphen kann mittels Integralrechnung bestimmt werden. Dass dabei die Orientierung (also welcher Graph über dem anderen liegt) entscheidet, ob das Integral positiv oder negativ ist, kann hier ausgenutzt werden. Wenn die beiden Flächen gleich groß sind, muss das Integral über die Differenz der beiden Funktionen Null ergeben:
		186	<br><p>
		187
		188	{{formula}}
		189	\begin{align}
		190	&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} =0 \\
		191	&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} =0\\
		192	&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} =0 \\
		193	&\Leftrightarrow \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 =0 \\
		194	&\Leftrightarrow \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k =0\\
		195	&\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}
		196	\end{align}
		197	{{/formula}}
		198
		199	</p>
		200	{{formula}}p(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}
		201
		202	{{/detail}}
		203
		204
		205	=== Teilaufgabe g) ===
		206	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		207	{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}
		208	<br>
		209	{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}} mit {{formula}}e^{f\left(x\right)}>0{{/formula}}
		210	<br>
		211	{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.
		212	{{/detail}}
		213
		214
		215	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		216	//Aufgabenstellung//
		217	<br><p>
		218	Begründe, dass die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h(x)=e^{f(x)}{{/formula}} die gleichen Extremstellen wie die Funktion {{formula}}f{{/formula}} hat.
		219	</p>
		220	//Lösung//
		221	<br>
		222	{{formula}}h(x){{/formula}} kann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet werden:
		223	<br>
		224	{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}
		225	<br>
		226	An Extremstellen ist die erste Ableitung Null.
		227	<br>
		228	{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}}
		229	<br><p>
		230	Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass dieser Term Null wird, wenn entweder {{formula}}e^{f(x)}{{/formula}} Null wird (was nicht eintreten kann, da Exponentialterme immer positiv sind) oder {{formula}}f^\prime(x){{/formula}} Null wird.
		231	</p>
		232	{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben also die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.
		233	{{/detail}}

unfertig	fertig
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