Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -3,6 +3,19 @@
  {{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Ermittle den Wert von {{formula}}a{{/formula}}.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Der Parameter {{formula}}a{{/formula}} kann durch eine Punktprobe mit dem Punkt {{formula}}\left(1\middle|-1\right){{/formula}} berechnet werden:
++<br>
++{{formula}}f(1)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^2\cdot(1-4)=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ -3a=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}{{/formula}}
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}
@@ -14,6 +14,38 @@
  {{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \   \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von {{formula}}K_f{{/formula}}.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Zuerst muss der Funktionsterm ausmultipliziert werden:
++<br>
++{{formula}}f(x)=\frac{1}{3}\cdot x^2\cdot(x-4)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2{{/formula}}
++<br>
++Zur Bestimmung eines Tiefpunkts können die erste und zweite Ableitung herangezogen werden:
++<br>
++{{formula}}f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}{{/formula}}
++<br><p>
++An einer Extremstelle ist die erste Ableitung Null:
++<br>
++{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}{{/formula}}
++</p>
++Setzt man diese beiden Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat, in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob der Graph dort links- oder rechtsgekrümmt ist:
++<br>
++{{formula}}f^{\prime\prime}(0)=-\frac{8}{3}<0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Es handelt sich also um eine Hochstelle.
++<br><p>
++{{formula}}f^{\prime\prime}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}>0{{/formula}}, das heißt der Graph ist dort linksgekrümmt. Es handelt sich also um die gesuchte Tiefstelle.
++</p>
++Für die y-Koordinate des Tiefpunkts wird die x-Koordinate in den Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} eingesetzt:
++<br>
++{{formula}}f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \   \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right){{/formula}}
++{{/detail}}
++
++
  === Teilaufgabe c) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}}   Somit ist  {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}}  Wendestelle.
@@ -23,27 +23,140 @@
  Schnittwinkel mit der x-Achse: {{formula}}\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente {{formula}}w{{/formula}} an {{formula}}K_f{{/formula}} die x-Achse schneidet.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Zuerst muss die Wendestelle bestimmt werden. Dazu wird die zweite Ableitung Null gesetzt:
++<br><p>
++{{formula}}f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3}{{/formula}}
++</p>
++Mit Hilfe der dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt
++<br>
++{{formula}}f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0{{/formula}}
++<br><p>
++Somit ist  {{formula}}x=\frac{4}{3}{{/formula}}  Wendestelle.
++</p>
++Für die Steigung der Wendetangente kann die x-Koordinate der Wendestelle in den Funktionsterm der ersten Ableitung eingesetzt werden:
++<br>
++ {{formula}}f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}{{/formula}}
++<br>
++Die Steigung {{formula}}m{{/formula}} einer Geraden und ihr Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} mit der x-Achse sind verknüpft:
++<br><p>
++{{formula}}m=\tan{(\alpha)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \alpha=\tan^{-1}{(m)}{{/formula}}
++</p>
++{{formula}}\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ{{/formula}}
++Da Schnittwinkel immer als positive Größen angegeben werden, ist 61° das Ergebnis.
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe d) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
--{{formula}}s^{\prime\prime}\left(x\right)=2x{{/formula}}
++{{formula}}s^{\prime\prime}(x)=2x{{/formula}}
  <br>
  {{formula}}f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Der Graph der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}s{{/formula}} geht aus {{formula}}K_f{{/formula}} durch Verschiebung um  {{formula}}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{{/formula}}  in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt {{formula}}s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x{{/formula}}.
++<br>
++Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}s^{\prime\prime}(x)=2x{{/formula}}
++<br>
++Da der Graph von {{formula}}s{{/formula}} gegenüber dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}} um  {{formula}}\frac{4}{3}{{/formula}}  nach links verschoben ist, kann {{formula}}f^{\prime\prime}(1){{/formula}} ermittelt werden, indem {{formula}}s^{\prime\prime}\left(1-\frac{4}{3}\right){{/formula}} berechnet wird:
++<br>
++{{formula}}f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0{{/formula}}
++<br>
++Da die zweite Ableitung negativ ist, muss der Graph dort rechtsgekrümmt sein.
++{{/detail}}
++
++
  === Teilaufgabe e) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Der Wert {{formula}}u_1=3{{/formula}} ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Der Ursprung, der Punkt {{formula}}P\left(u\middle|0\right){{/formula}} und der Punkt {{formula}}Q\left(u\middle| f(u)\right){{/formula}} bilden für {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt {{formula}}A(u){{/formula}}.
++<br>
++Erläutere die Bedeutung der Stelle {{formula}}u_1{{/formula}}, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
++<br>
++{{formula}}A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}}
++<br>
++Dabei gilt: {{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}}  und {{formula}}A(0,5)<A(3){{/formula}} und {{formula}}A(3,5)<A(3){{/formula}}
++<br>
++Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br><p>
++{{formula}}A^\prime(u_1)=0 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}} sagt aus, dass {{formula}}u_1{{/formula}} die einzige Stelle ist, an der die Ableitung des Flächeninhalts Null ist.
++</p><p>
++Da an dieser Stelle die zweite Ableitung negativ ist ({{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}}), handelt es sich um eine Hochstelle.
++</p>
++Da der der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} jeweils kleiner ist als an der Stelle {{formula}}u_1=3{{/formula}}, handelt es sich sogar um eine globale Hochstelle, und der dazugehörige y-Wert ist ein globales Maximum.
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe f) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Gleichung der Parabel {{formula}}p{{/formula}} mit {{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}
  <br>
--{{formula}}\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}{{/formula}}
++{{formula}}\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}{{/formula}}
  <br>
  {{formula}}p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right){{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Eine quadratische Funktion {{formula}}p{{/formula}} hat dieselben Nullstellen wie {{formula}}f{{/formula}}. Die Graphen von {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
++<br>
++Ermittle eine Gleichung von {{formula}}p{{/formula}}.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Da die Parabel {{formula}}p{{/formula}} ebenfalls die Nullstellen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}} haben soll, kann die Parabelgleichung in Produktform angesetzt werden:
++<br><p>
++{{formula}}p(x)=k\cdot x\cdot(x-4){{/formula}} mit einem noch nicht bekannten Vorfaktor {{formula}}k\in\mathbb{R}{{/formula}}.
++</p>
++Eine Skizze/Zeichnung kann sinnvoll sein, um die Flächen zu identifizieren:
++<br>
++[[image:SkizzeAufgabe1f).png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++<br><p>
++Der Streckfaktor {{formula}}k{{/formula}} der roten Parabel muss so gewählt werden, dass die beiden blauen Flächen gleich groß sind.
++</p>
++Ein Flächeninhalt zwischen zwei Graphen kann mittels Integralrechnung bestimmt werden. Dass dabei die Orientierung (also welcher Graph über dem anderen liegt) entscheidet, ob das Integral positiv oder negativ ist, kann hier ausgenutzt werden. Wenn die beiden Flächen gleich groß sind, muss das Integral über die Differenz der beiden Funktionen Null ergeben:
++<br><p>
++
++{{formula}}
++\begin{align}
++&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\
++&\Leftrightarrow\ \ \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} &&=0\\
++&\Leftrightarrow\ \ \ \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\
++&\Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 &&=0 \\
++&\Leftrightarrow\ \ \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k &&=0\\
++&\Leftrightarrow\ \ k=\frac{2}{3}
++\end{align}
++{{/formula}}
++
++</p>
++{{formula}}p(x)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot(x-4){{/formula}}
++
++{{/detail}}
++
++
  === Teilaufgabe g) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}

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