Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1
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Zusammenfassung
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... ... @@ -187,12 +187,12 @@ 187 187 188 188 {{formula}} 189 189 \begin{align} 190 -&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} =0 \\ 191 -&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} =0\\ 192 -&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} =0 \\ 193 -&\Leftrightarrow 194 -&\Leftrightarrow 195 -&\Leftrightarrow k=\frac{2}{3} 190 +&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\ 191 +&\Leftrightarrow\ \ \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} &&=0\\ 192 +&\Leftrightarrow\ \ \ \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\ 193 +&\Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 &&=0 \\ 194 +&\Leftrightarrow\ \ \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k &&=0\\ 195 +&\Leftrightarrow\ \ k=\frac{2}{3} 196 196 \end{align} 197 197 {{/formula}} 198 198 ... ... @@ -210,24 +210,3 @@ 210 210 <br> 211 211 {{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen. 212 212 {{/detail}} 213 - 214 - 215 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 216 -//Aufgabenstellung// 217 -<br><p> 218 -Begründe, dass die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h(x)=e^{f(x)}{{/formula}} die gleichen Extremstellen wie die Funktion {{formula}}f{{/formula}} hat. 219 -</p> 220 -//Lösung// 221 -<br> 222 -{{formula}}h(x){{/formula}} kann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet werden: 223 -<br> 224 -{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}} 225 -<br> 226 -An Extremstellen ist die erste Ableitung Null. 227 -<br> 228 -{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}} 229 -<br><p> 230 -Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass dieser Term Null wird, wenn entweder {{formula}}e^{f(x)}{{/formula}} Null wird (was nicht eintreten kann, da Exponentialterme immer positiv sind) oder {{formula}}f^\prime(x){{/formula}} Null wird. 231 -</p> 232 -{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben also die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen. 233 -{{/detail}}