Erwartungshorizont (offiziell)
(1) Die Aussage ist wahr. Am Graph \(K_g\) ist ersichtlich, dass dieser 5 Stellen mit waagrechter Tangente aufweist.
(2) Die Aussage ist wahr. Zwischen \(x=0\) und \(x=3\) schließt \(K_g\) mit der x-Achse eine größere Fläche ein als zwischen \(x=3\) und \(x=4\). Somit ist die Flächenbilanz positiv.
(3) Die Aussage ist falsch. Es gilt \(J^\prime(x)=g(x)\). \(g\) weist beispielsweise für \(x=3,5\) einen negativen Funktionswert auf. Somit ist \(J\) an dieser Stelle nicht monoton wachsend.Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungDie Abbildung zeigt den Graphen \(K_g\) einer Funktion \(g\) im Definitionsbereich \(-4\le x\le4\). Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
(1) Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g^\prime\) hat genau 5 Nullstellen.
(2) Es gilt: \(\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}\)
(3) Die Integralfunktion \(J\) mit \(J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}\) ist für \(0\le x\le4\) monoton wachsend.
Lösung(1) Die Aussage ist wahr. Am Graph \(K_g\) ist ersichtlich, dass dieser 5 Stellen mit waagrechter Tangente aufweist. Und da die Steigung der Tangente die erste Ableitung ist, hat \(g^\prime\) genau 5 Nullstellen.
(2) Die Aussage ist wahr. Zwischen \(x=0\) und \(x=3\) schließt \(K_g\) mit der x-Achse eine größere Fläche ein als zwischen \(x=3\) und \(x=4\). Die erste Fläche liegt über der x-Achse, also ist das Integral positiv. Die zweite Fläche liegt unter der x-Achse, also ist das Integral negativ. Somit ist die Flächenbilanz positiv.
(3) Die Aussage ist falsch. Ab \(x=3\) wird das Integral kleiner, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und somit negativ zum Integral beiträgt. Zwar steigt die Integralfunktion bis \(x=3\), aber ab \(x=3\) fällt sie.