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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:30
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bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 21:30
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am 2025/01/25 13:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -79,7 +79,7 @@
79 79  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 80  {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 81  <br>
82 -{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
82 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
83 83  {{/detail}}
84 84  
85 85  
... ... @@ -100,7 +100,7 @@
100 100  <br>
101 101  Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
102 102  <br><p>
103 -{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
103 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
104 104  </p>
105 105  Option 2:
106 106  <br>
... ... @@ -127,16 +127,14 @@
127 127  Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 128  </p>
129 129  //Lösung//
130 -[[image:Skizze-Teilaufgabe-d.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
131 131  <br>
132 132  Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
133 133  <br>
134 134  {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
135 135  <br>
136 -Da der Baumstumpf (grüner Pfeil) im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
135 +Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
137 137  <br>
138 138  Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
139 -<br>
140 140  {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
141 141  <br>
142 142  Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
... ... @@ -143,7 +143,7 @@
143 143  <br>
144 144  {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
145 145  <br>
146 -Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
144 +Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
147 147  
148 148  {{/detail}}
149 149  
... ... @@ -156,28 +156,9 @@
156 156  {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
157 157  {{/detail}}
158 158  
159 -
160 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161 -//Aufgabenstellung//
162 -<br><p>
163 -Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
164 -</p>
165 -//Lösung//
166 -<br>
167 -Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
168 -<br>
169 -{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
170 -<br>
171 -{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
172 -<br>
173 -{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
174 -<br>
175 -Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
176 -{{/detail}}
177 -
178 178  === Teilaufgabe f) ===
179 179  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
180 -{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}3\\k\\1,5 \end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
159 +{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
181 181  <br>
182 182  {{formula}}|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}
183 183  <br>
... ... @@ -189,60 +189,10 @@
189 189  <br><p>
190 190  Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
191 191  </p>
192 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
171 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
193 193  {{/detail}}
194 194  
195 -
196 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
197 -//Aufgabenstellung//
198 -<br><p>
199 -Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
200 -</p>
201 -//Lösung//
202 -<br>
203 -Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
204 -<br>
205 -{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}3\\k\\1,5 \end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
206 -<br>
207 -Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
208 -<br>
209 -
210 -{{formula}}
211 -\begin{align*}
212 - |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
213 - \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
214 - \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
215 - \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
216 - \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
217 -\end{align*}
218 -{{/formula}}
219 -
220 -D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
221 -<br><p>
222 -Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
223 -</p>
224 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
225 -{{/detail}}
226 -
227 227  === Teilaufgabe g) ===
228 228  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
229 229  Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
230 230  {{/detail}}
231 -
232 -
233 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
234 -//Aufgabenstellung//
235 -<br>
236 - Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
237 -<br>
238 -{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}
239 -<br><p>
240 -Interpretiere diesen Ansatz.
241 -</p>
242 -//Lösung//
243 -<br>
244 -Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
245 -Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
246 -Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
247 -{{/detail}}
248 -
Skizze-Teilaufgabe-d.ggb
Author
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Inhalt
Skizze-Teilaufgabe-d.png
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