Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/27 22:41
Von Version 9.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/25 13:06
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 8.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/25 12:58
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,12 +5,7 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0|1|2,5){{/formula}} bekannt sind.
11 -</p>
12 -//Lösung//
13 -<br><p>
8 +<p>
14 14  Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.
15 15  </p>
16 16  Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
... ... @@ -39,17 +39,17 @@
39 39  
40 40  
41 41  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
42 -//Aufgabenstellung//
37 +//Aufgabenstellung://
43 43  <br><p>
44 44  Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.
45 45  </p>
46 -//Lösung//
41 +//Lösung://
47 47  <br>
48 48  Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}.
49 49  <br>
50 50  Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:
51 51  <br><p>
52 -{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
47 +{{formula}}A =2\dot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
53 53  </p>
54 54  Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
55 55  <br>
... ... @@ -59,14 +59,13 @@
59 59  <br>
60 60  {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
61 61  <br>
62 -Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
57 +Die Länge der Seite FI kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
63 63  <br><p>
64 64  {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
65 65  </p>
66 66  Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
67 67  <br>
68 -{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
69 -<br>
63 +{{formula}}A =2\dot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_EFI+A_FGJI )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
70 70  Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
71 71  <br>
72 72  {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
... ... @@ -84,27 +84,26 @@
84 84  
85 85  
86 86  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
87 -//Aufgabenstellung//
81 +//Aufgabenstellung://
88 88  <br><p>
89 89  Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.
90 90  </p>
91 -//Lösung//
85 +//Lösung://
92 92  <br>
93 -Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
94 -<br>
95 -{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
87 +Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overline{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
88 +{{formula}}\overline{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
96 96  <br><p>
97 97  Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:
98 98  </p>
99 99  Option 1:
100 100  <br>
101 -Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
94 +Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overline{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overline{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
102 102  <br><p>
103 -{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
96 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overline{JG}\cdot \overline{JG_p}}{|\overline{JG}|\cdot |\overline{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
104 104  </p>
105 105  Option 2:
106 106  <br>
107 -Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
100 +Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overline{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
108 108  <br>
109 109  Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.
110 110  {{/detail}}
... ... @@ -122,11 +122,11 @@
122 122  
123 123  
124 124  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
125 -//Aufgabenstellung//
118 +//Aufgabenstellung://
126 126  <br><p>
127 127  Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 128  </p>
129 -//Lösung//
122 +//Lösung://
130 130  <br>
131 131  Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
132 132  <br>