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2024 eAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz II

Version 2.1 von akukin am 2025/02/13 21:15

Gegeben sind die Punkte A(0|3|0) und C(2|-1|4) sowie die Gerade h mit
h: \vec{x}= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2 \end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2 \end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R}
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C.

  1. [4 BE] Zeige, dass die Geraden g und h in einer gemeinsamen Ebene E liegen. 
  2. [3 BE] Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene E.
    (Zur Kontrolle  E: 2x_1+2x_2+x_3=6)
  3. [3 BE] Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von E.
    Stelle die Ebene E mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar. 

Die Punkte A und C sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene E liegenden Quadrats ABCD mit Mittelpunkt M.
Dieses Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer geraden Pyramide, d.h. der Verbindungsvektor von M und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.

  1. [5 BE] Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten (-1|2|4) hat.
    Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes D.
  2. [3 BE] Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat. 

Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche ABCD hat die Spitze R  und wird aus der x_3-Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene E.
Der Schattenpunkt der Spitze R ist R^\prime(3|3|-6).

  1. [7 BE] Begründe, dass der Schattenpunkt R^\prime außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
    Berechne die Koordinaten der Spitze R.
Bewertungseinheiten gesamt   25
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a4II    III   X
b3      I I  X
c3      I I II X
d5 II    II II II X
e3     II II  X
f7IIIIII II II  II X