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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -5,58 +5,6 @@
5 5  {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 -
9 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -//Aufgabenstellung//
11 -<br><p>
12 -Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 -</p>
14 -//Lösung//
15 -<br>
16 -Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 -<br>
18 -{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 -<br>
20 -{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 -<br>
22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 - <br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
24 -<br>
25 -{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
26 -<br>
27 - g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
28 - <br>
29 -<br>
30 - 2) Prüfen, ob sie sich schneiden:
31 -<br>
32 -{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
33 -<br>
34 -Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
35 -
36 -{{formula}}
37 -\left\{
38 -\begin{aligned}
39 -0 + 1s &= 5 + 3r \\
40 -3 - 2s &= -3 - 4r \\
41 -0 + 2s &= 2 + 2r
42 -\end{aligned}
43 -\right\}
44 -\Leftrightarrow
45 -\left\{
46 -\begin{aligned}
47 -s - 3r &= 5 \\
48 --2s + 4r &= -6 \\
49 -2s - 2r &= 2
50 -\end{aligned}
51 -\right\}
52 -\Leftrightarrow
53 -r = -2 \land s = -1
54 -{{/formula}}
55 -
56 -Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und deeswegen liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
57 -
58 -{{/detail}}
59 -
60 60  === Teilaufgabe b) ===
61 61  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
62 62  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -64,71 +64,13 @@
64 64  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
65 65  {{/detail}}
66 66  
67 -
68 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69 -//Aufgabenstellung//
70 -<br><p>
71 -Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
72 -<br>
73 - //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
74 -</p>
75 -//Lösung//
76 -<br>
77 -Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
78 -<br>
79 -Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
80 -<br>
81 -Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
82 -<br><p>
83 -Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
84 -</p>
85 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
86 -<br>
87 -Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
88 -<br>
89 -{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
90 -<br>
91 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
92 -<br>
93 -Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
94 -<br>
95 -{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
96 -{{/detail}}
97 -
98 98  === Teilaufgabe c) ===
99 99  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
100 100  Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
101 101  <br>
102 102  Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
103 -[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
104 104  {{/detail}}
105 105  
106 -
107 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108 -//Aufgabenstellung//
109 -<br><p>
110 -Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
111 -<br>
112 -Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
113 -</p>
114 -//Lösung//
115 -<br><p>
116 -Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
117 -</p><p>
118 -Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
119 -</p>
120 -Spurpunkte:
121 -<br>
122 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
123 -<br>
124 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
125 -<br>
126 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
127 -<br>
128 -Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
129 -[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
130 -{{/detail}}
131 -
132 132  === Teilaufgabe d) ===
133 133  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
134 134  Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
... ... @@ -140,40 +140,9 @@
140 140  Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
141 141  {{/detail}}
142 142  
143 -
144 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
145 -//Aufgabenstellung//
146 -<br><p>
147 -Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
148 -<br>
149 -Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
150 -</p>
151 -//Lösung//
152 -<br>
153 -Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
154 -<br>
155 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
156 -<br><p>
157 -Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
158 -</p>
159 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
160 -<br>
161 -{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
162 -<br>
163 -{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
164 -<br><p>
165 -Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
166 -</p>
167 -Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
168 -<br>
169 -{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
170 -<br>
171 -Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
172 -{{/detail}}
173 -
174 174  === Teilaufgabe e) ===
175 175  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
176 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
35 +Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
177 177  <br>
178 178  Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
179 179  <br>
... ... @@ -180,33 +180,6 @@
180 180  Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
181 181  {{/detail}}
182 182  
183 -
184 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
185 -//Aufgabenstellung//
186 -<br><p>
187 -Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
188 -</p>
189 -//Lösung//
190 -<br>
191 -Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
192 -<br>
193 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
194 -<br>
195 -Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
196 -<br>
197 -Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
198 -<br>
199 -Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
200 -<br>
201 -Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
202 -<br>
203 -Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
204 -<br>
205 -{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
206 -<br>
207 -Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
208 -{{/detail}}
209 -
210 210  === Teilaufgabe f) ===
211 211  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
212 212  Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
... ... @@ -213,30 +213,5 @@
213 213  <br>
214 214  {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
215 215  <br>
216 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
48 +{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
217 217  {{/detail}}
218 -
219 -
220 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
221 -//Aufgabenstellung//
222 -<br><p>
223 -Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
224 -<br>
225 -Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
226 -</p>
227 -//Lösung//
228 -<br><p>
229 -Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
230 -</p>
231 -Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
232 -<br>
233 -Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
234 -<br>
235 -Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
236 -<br>
237 -{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
238 -<br>
239 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
240 -
241 -{{/detail}}
242 -
LösungB3.2.png
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