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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,6 +5,50 @@
5 5  {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 +
9 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 +//Aufgabenstellung//
11 +<br><p>
12 +Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 +</p>
14 +//Lösung//
15 +<br>
16 +Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 +<br>
18 +{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 +<br>
20 +{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 +<br>
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 +<br>
24 +{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 +<br>
26 +Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
27 +
28 +{{formula}}
29 +\left\{
30 +\begin{aligned}
31 +0 + 1s &= 5 + 3r \\
32 +3 - 2s &= -3 - 4r \\
33 +0 + 2s &= 2 + 2r
34 +\end{aligned}
35 +\right\}
36 +\Leftrightarrow
37 +\left\{
38 +\begin{aligned}
39 +s - 3r &= 5 \\
40 +-2s + 4r &= -6 \\
41 +2s - 2r &= 2
42 +\end{aligned}
43 +\right\}
44 +\Leftrightarrow
45 +r = -2 \land s = -1
46 +{{/formula}}
47 +
48 +Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 +
50 +{{/detail}}
51 +
8 8  === Teilaufgabe b) ===
9 9  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
10 10  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -12,6 +12,37 @@
12 12  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
13 13  {{/detail}}
14 14  
59 +
60 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
61 +//Aufgabenstellung//
62 +<br><p>
63 +Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
64 +<br>
65 + //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
66 +</p>
67 +//Lösung//
68 +<br>
69 +Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
70 +<br>
71 +Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
72 +<br>
73 +Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
74 +<br><p>
75 +Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
76 +</p>
77 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
78 +<br>
79 +Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
80 +<br>
81 +{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
82 +<br>
83 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
84 +<br>
85 +Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
86 +<br>
87 +{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
88 +{{/detail}}
89 +
15 15  === Teilaufgabe c) ===
16 16  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
17 17  Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
... ... @@ -20,6 +20,32 @@
20 20  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
21 21  {{/detail}}
22 22  
98 +
99 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
100 +//Aufgabenstellung//
101 +<br><p>
102 +Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
103 +<br>
104 +Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
105 +</p>
106 +//Lösung//
107 +<br><p>
108 +Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
109 +</p><p>
110 +Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
111 +</p>
112 +Spurpunkte:
113 +<br>
114 +{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
115 +<br>
116 +{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
117 +<br>
118 +{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
119 +<br>
120 +Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
121 +[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
122 +{{/detail}}
123 +
23 23  === Teilaufgabe d) ===
24 24  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
25 25  Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
... ... @@ -31,6 +31,37 @@
31 31  Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
32 32  {{/detail}}
33 33  
135 +
136 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
137 +//Aufgabenstellung//
138 +<br><p>
139 +Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
140 +<br>
141 +Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
142 +</p>
143 +//Lösung//
144 +<br>
145 +Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
146 +<br>
147 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
148 +<br><p>
149 +Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
150 +</p>
151 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{formula}} gelten.
152 +<br>
153 +{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
154 +<br>
155 +{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
156 +<br><p>
157 +Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
158 +</p>
159 +Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
160 +<br>
161 +{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
162 +<br>
163 +Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
164 +{{/detail}}
165 +
34 34  === Teilaufgabe e) ===
35 35  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
36 36  Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
... ... @@ -40,6 +40,33 @@
40 40  Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
41 41  {{/detail}}
42 42  
175 +
176 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
177 +//Aufgabenstellung//
178 +<br><p>
179 +Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
180 +</p>
181 +//Lösung//
182 +<br>
183 +Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
184 +<br>
185 +Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
186 +<br>
187 +Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
188 +<br>
189 +Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
190 +<br>
191 +Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
192 +<br>
193 +Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
194 +<br>
195 +Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
196 +<br>
197 +{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
198 +<br>
199 +Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
200 +{{/detail}}
201 +
43 43  === Teilaufgabe f) ===
44 44  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
45 45  Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
... ... @@ -48,3 +48,28 @@
48 48  <br>
49 49  {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
50 50  {{/detail}}
210 +
211 +
212 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
213 +//Aufgabenstellung//
214 +<br><p>
215 +Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
216 +<br>
217 +Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
218 +</p>
219 +//Lösung//
220 +<br><p>
221 +Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
222 +</p>
223 +Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
224 +<br>
225 +Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
226 +<br>
227 +Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
228 +<br>
229 +{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
230 +<br>
231 +{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
232 +
233 +{{/detail}}
234 +