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Lösung Lineare Algebra

Version 3.1 von akukin am 2025/01/28 23:15

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) \(g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}\)
\(g\cap h\) ergibt Schnittpunkt \(T(-1|5|-2)\), d.h. \(g\) und \(h\) liegen in einer Ebene.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Normalenvektor: \(\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)\)
Damit nach Punktprobe z. B. mit \(A\): \(E: 2x_1+2x_2+x_3=6\)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) Spurpunkt \(S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0)\)
Analog: \(S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6)\) LösungB3.2.png

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) Der weitere Eckpunkt sei \(B\), dieser liegt in \(E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}\)
Damit sind \(AB\) und \(BC\) Seiten eines in \(E\) liegenden Quadrats.
Mit \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\) ist \(D(3|0|0)\).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) Mittelpunkt der Grundfläche: \(\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)\); also \(M(1|1|2)\)
Normalenvektor von \(E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right)\) mit \(|\vec{n}|=3\)
Damit gilt für die Spitze \(S\) der Pyramide \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}\), also \(S(9|9|6)\) oder \(S(-7|-7|-2)\).

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) Die \(x_3\)-Koordinate von \(R^\prime\) ist negativ, während alle \(x_3\)-Koordinaten der Punkte \(A,B,C,D\) größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss \(R\) außerhalb der Grundfläche \(ABCD\) liegen.
\(g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}\)
\(g_{MR}\cap g_{R^\prime R}\) ergibt den Schnittpunkt \(R(3|3|3)\).