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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -104,19 +104,17 @@
104 104  Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
105 105  </p>
106 106  //Lösung//
107 -<br><p>
107 +<br>
108 108  Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
109 -</p><p>
110 110  Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
111 -</p>
110 +<br>
112 112  Spurpunkte:
113 113  <br>
114 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
113 +{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
115 115  <br>
116 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
115 +{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
117 117  <br>
118 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
119 -<br>
117 +{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
120 120  Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
121 121  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
122 122  {{/detail}}
... ... @@ -144,11 +144,11 @@
144 144  <br>
145 145  Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
146 146  <br>
147 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
145 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}
148 148  <br><p>
149 149  Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
150 150  </p>
151 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{formula}} gelten.
149 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss |(AB) ⃗ |=|(BC) ⃗ | gelten.
152 152  <br>
153 153  {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
154 154  <br>