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Wiki-Quellcode von Tipp Lineare Algebra

Version 2.1 von akukin am 2025/01/28 23:43
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis 1"}}
3 Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Hinweis 2"}}
8 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie sich schneiden.
9 {{/detail}}
10
11 === Teilaufgabe b) ===
12 {{detail summary="Hinweis 1"}}
13 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
14 {{/detail}}
15
16
17 {{detail summary="Hinweis 2"}}
18 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
19 <br>
20 Die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts findest du in der Merkhilfe.
21 {{/detail}}
22
23
24 {{detail summary="Hinweis 3"}}
25 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
26 <br>
27 Den noch fehlenden Wert für b auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
28 {{/detail}}
29
30 === Teilaufgabe c) ===
31 {{detail summary="Hinweis 1"}}
32 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte der Ebene, die auch auf einer der Achsen liegen.
33 {{/detail}}
34
35
36 {{detail summary="Hinweis 2"}}
37 Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null.
38 {{/detail}}
39
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41 {{detail summary="Hinweis 3"}}
42 Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
43 {{/detail}}
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45
46 {{detail summary="Hinweis 4"}}
47 Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
48 {{/detail}}
49
50 === Teilaufgabe d) ===
51 {{detail summary="Hinweis 1"}}
52 Zeige zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
53 {{/detail}}
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55
56 {{detail summary="Hinweis 2"}}
57 Überlege dir, was zu überprüfen ist, um ein ebenes Viereck als Quadrat zu identifizieren.
58 {{/detail}}
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61 {{detail summary="Hinweis 3"}}
62 Zum einen muss gelten, dass jeweils zwei Seiten des Quadrats senkrecht aufeinander stehen; zum anderen müssen die Seiten gleich lang sein.
63 {{/detail}}
64
65 {{detail summary="Hinweis 4"}}
66 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gelten.
67 {{/detail}}
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70 {{detail summary="Hinweis 5"}}
71 Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberligenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
72 {{/detail}}
73
74 === Teilaufgabe e) ===
75 {{detail summary="Hinweis 1"}}
76 Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats, benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}.
77 <br>
78 (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
79 {{/detail}}
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82 {{detail summary="Hinweis 2"}}
83 Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
84 <br>
85 (Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.)
86 {{/detail}}
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88
89 {{detail summary="Hinweis 3"}}
90 Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvektor der Spitze.
91 <br>
92 (Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.)
93 {{/detail}}
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95 === Teilaufgabe f) ===
96 {{detail summary="Hinweis"}}
97 Schaue dir die Koordinaten der Eckpunkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} der Grundfläche der Pyramide an. Fällt dir etwas auf, wenn du diese mit den Koordinaten des Schattenpunkts {{formula}}R^\prime{{/formula}} vergleichst?
98 {{/detail}}