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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/16 18:52
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/17 12:40
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -43,7 +43,7 @@
43 43  <br>
44 44  {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 45  <br>
46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -70,18 +70,15 @@
70 70  //Lösung//
71 71  <br>
72 72  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
73 -</p>
73 +<br>
74 74  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 75  <br>
76 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
77 77  <br>
78 78  Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
79 -<br>
79 +<br><p>
80 80  Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
81 -<br>
82 -{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
83 -=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
84 -<br>
81 +</p>
85 85  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
86 86  <br>
87 87  {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
... ... @@ -123,8 +123,8 @@
123 123  Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
124 124  (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
125 125  | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
126 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
127 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
123 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
124 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
128 128  |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
129 129  
130 130  Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
... ... @@ -141,6 +141,7 @@
141 141  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
142 142  <br>
143 143  {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
141 +<br>
144 144  {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
145 145  <br>
146 146  Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
... ... @@ -194,3 +194,44 @@
194 194  <br>
195 195  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
196 196  {{/detail}}
195 +
196 +
197 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
198 +//Aufgabenstellung//
199 +<br><p>
200 +Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
201 +Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
202 +</p>
203 +//Lösung//
204 +<br><p>
205 +{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
206 +</p><p>
207 +Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
208 +</p>
209 +{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
210 +<br><p>
211 +{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
212 +</p>
213 +Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
214 +<br>
215 +Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
216 +<br>
217 +{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
218 +<br>
219 +{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
220 +<br>
221 +Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
222 +
223 +{{formula}}
224 +\begin{align}
225 +P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
226 +\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
227 +\end{align}
228 +{{/formula}}
229 +
230 +{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
231 +<br>
232 +{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
233 +<br>
234 +Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
235 +{{/detail}}