Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Lösung Stochastik
1 +Lösung Aufgabe 1
Inhalt
... ... @@ -41,9 +41,9 @@
41 41  <br>
42 42  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 43  <br>
44 -{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 45  <br>
46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -64,23 +64,24 @@
64 64  //Aufgabenstellung//
65 65  <br><p>
66 66  Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 -<br>
68 68  {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
69 -<br>
70 70  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
71 71  </p>
72 72  //Lösung//
73 73  <br>
74 74  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
75 -<br>
73 +</p>
76 76  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
77 77  <br>
78 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
79 79  <br>
80 80  Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
81 -<br><p>
79 +<br>
82 82  Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
83 -</p>
81 +<br>
82 +{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
83 +=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
84 +<br>
84 84  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
85 85  <br>
86 86  {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
... ... @@ -105,23 +105,23 @@
105 105  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
106 106  {{/detail}}
107 107  
108 -
109 109  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 110  //Aufgabenstellung//
111 -<br>
112 -Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
113 113  <br><p>
114 -Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
112 +Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
113 +(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
114 +* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
115 +* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
116 +den Lauf abgebrochen.
115 115  </p>
116 116  //Lösung//
117 117  <br>
118 118  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
119 -<br>
120 120  Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
121 121  (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
122 122  | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
123 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
124 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
124 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
125 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
125 125  |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
126 126  
127 127  Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
... ... @@ -128,17 +128,13 @@
128 128  <br>
129 129  Schwarz: Angaben aus dem Text
130 130  <br>
131 -(% style="color:green" %) (((
132 -Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 -)))
134 -(% style="color:red" %) (((
135 -Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 -)))
137 -<br>
132 +(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
133 +<br><p>
134 +(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
135 +</p>
138 138  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
139 139  <br>
140 140  {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
141 -<br>
142 142  {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
143 143  <br>
144 144  Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
... ... @@ -149,10 +149,8 @@
149 149  
150 150  === Teilaufgabe e) ===
151 151  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
152 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
149 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
153 153  <br>
154 -{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
155 -<br>
156 156  Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
157 157  <br>
158 158  {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
... ... @@ -160,30 +160,6 @@
160 160  Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
161 161  {{/detail}}
162 162  
163 -
164 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
165 -//Aufgabenstellung//
166 -<br><p>
167 - Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
168 -</p>
169 -//Lösung//
170 -<br>
171 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
172 -<br>
173 -{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
174 -<br><p>
175 -Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
176 -</p>
177 -Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 -<br>
179 -{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
180 -<br>
181 -{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
182 -<br>
183 -Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
184 -{{/detail}}
185 -
186 -
187 187  === Teilaufgabe f) ===
188 188  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
189 189  {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
... ... @@ -194,44 +194,3 @@
194 194  <br>
195 195  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
196 196  {{/detail}}
197 -
198 -
199 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
200 -//Aufgabenstellung//
201 -<br><p>
202 -Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
203 -Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
204 -</p>
205 -//Lösung//
206 -<br><p>
207 -{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
208 -</p><p>
209 -Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
210 -</p>
211 -{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
212 -<br><p>
213 -{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
214 -</p>
215 -Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
216 -<br>
217 -Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
218 -<br>
219 -{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
220 -<br>
221 -{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
222 -<br>
223 -Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
224 -
225 -{{formula}}
226 -\begin{align}
227 -P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
228 -\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
229 -\end{align}
230 -{{/formula}}
231 -
232 -{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
233 -<br>
234 -{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
235 -<br>
236 -Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
237 -{{/detail}}