Lösung Aufgabe 1

Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.

17

18

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.

19

20

21

=== Teilaufgabe b) ===

22

23

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

24

25

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}

26

27

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

35

36

{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.

37

38

{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.

//Lösung//

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

43

44

{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)

45

46

{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

47

48

49

=== Teilaufgabe c) ===

50

51

52

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

53

54

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

55

56

Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}

57

58

{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)

59

=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.

67

{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.

68

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

//Lösung//

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts

73

74

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.

75

76

Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.

77

78

Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},

79

80

Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}

81

82

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.

83

84

{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}

85

86

Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.

87

88

{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

89

90

91

=== Teilaufgabe d) ===

92

93

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

94

95

{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}

96

97

{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}

98

99

{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}

100

101

{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}

102

103

Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.

//Aufgabenstellung//

Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben

111

(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“

112

* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“

113

* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))

114

den Lauf abgebrochen.

//Lösung//

{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs

119

120

Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.

121

(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)

122

| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

123

|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,

124

|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,

125

|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%

126

127

Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte

128

129

Schwarz: Angaben aus dem Text

130

131

(% style="color:green" %) (((

132

Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)

133

)))

134

(% style="color:red" %) (((

135

Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}

136

)))

137

138

Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)

139

140

{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}

141

142

{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}

143

144

Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}

145

146

Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

=== Teilaufgabe e) ===

151

152

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;

153

154

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}

155

156

Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.

157

158

{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}

159

160

Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.

//Aufgabenstellung//

Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.

//Lösung//

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;

172

173

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}

174

175

Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.

176

177

Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:

178

179

{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}

180

181

Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.

=== Teilaufgabe f) ===

186

187

{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten

188

189

{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})

190

191

{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})

192

193

{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}

194

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author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	//Aufgabenstellung//
		9	<br><p>
		10	Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
		11	<br>
		12	Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
		17	<br>
		18	Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
		19	{{/detail}}
		20
		21	=== Teilaufgabe b) ===
		22	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		23	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		24	<br>
		25	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
		26	<br>
		27	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
		28	{{/detail}}
		29
		30
		31	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		32	//Aufgabenstellung//
		33	<br><p>
		34	Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
		35	<br>
		36	{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
		37	<br>
		38	{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
		39	</p>
		40	//Lösung//
		41	<br>
		42	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		43	<br>
		44	{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
		45	<br>
		46	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		47	{{/detail}}
		48
		49	=== Teilaufgabe c) ===
		50	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		51	<p>
		52	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		53	</p>
		54	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		55	<br>
		56	Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
		57	<br>
		58	{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
		59	=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
		60	{{/detail}}
		61
		62
		63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		64	//Aufgabenstellung//
		65	<br><p>
		66	Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
		67	{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
		68	Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
		69	</p>
		70	//Lösung//
		71	<br>
		72	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
		73	<br>
		74	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
		75	<br>
		76	Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
		77	<br>
		78	Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
		79	<br><p>
		80	Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
		81	</p>
		82	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
		83	<br>
		84	{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
		85	<br><p>
		86	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
		87	</p>
		88	{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		89	{{/detail}}
		90
		91	=== Teilaufgabe d) ===
		92	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		93	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		94	<br>
		95	{{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
		96	<br>
		97	{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
		98	<br>
		99	{{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
		100	<br>
		101	{{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
		102	<br>
		103	Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
		104	{{/detail}}
		105
		106
		107	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		108	//Aufgabenstellung//
		109	<br><p>
		110	Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
		111	(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
		112	* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
		113	* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
		114	den Lauf abgebrochen.
		115	</p>
		116	//Lösung//
		117	<br>
		118	{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
		119	<br>
		120	Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
		121	(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
		122	\| \|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		123	\|{{formula}}V{{/formula}}\|(% style="color:green" %)15%,,8,,\|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,\|82%,,1,,
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		125	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|(% style="color:green" %) 20%,,7,,\|(% style="color:green" %) 80%,,6,,\|100%
		126
		127	Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
		128	<br>
		129	Schwarz: Angaben aus dem Text
		130	<br>
		131	(% style="color:green" %) (((
		132	Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
		133	)))
		134	(% style="color:red" %) (((
		135	Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
		136	)))
		137	<br>
		138	Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
		139	<br>
		140	{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
		141	<br>
		142	{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
		143	<br>
		144	Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
		145	<br>
		146	Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
		147
		148	{{/detail}}
		149
		150	=== Teilaufgabe e) ===
		151	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
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		153	<br>
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		155	<br>
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		165	//Aufgabenstellung//
		166	<br><p>
		167	Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
		168	</p>
		169	//Lösung//
		170	<br>
		171	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
		172	<br>
		173	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
		174	<br><p>
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		177	Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
		178	<br>
		179	{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
		180	<br>
		181	Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
		182	{{/detail}}
		183
		184
		185	=== Teilaufgabe f) ===
		186	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		187	{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
		188	<br>
		189	{{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
		190	<br>
		191	{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
		192	<br>
		193	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
		194	{{/detail}}

unfertig	fertig
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