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Tipp Stochastik

Version 3.1 von akukin am 2025/01/23 17:37

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 E_1: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
Hinweis 2 E_2: Die Zufallsgröße X: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit n=20 und p=0,91.
Hinweis 3 E_3: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70 % von 20 Personen ist.
Hinweis 4

Da der Taschenrechner nur P(X\leq m) berechnen kann, also über alle P(X=k) von k=0 bis k=m aufsummiert, muss P(X\geq 14) noch umformuliert werden.

(Taschenrechner: binomialcdf)
Hinweis 5 P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ? (Taschenrechner: binomialcdf)

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Y: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit n=200, \ p=0,09)
Gesucht ist P(14\leq Y\leq 22).
Hinweis 2 Da der Taschenrechner nur P(X\leq m) berechnen kann, also über alle P(X=k) von k=0 bis k=m aufsummiert, muss P(14\leq Y\leq 22) noch umformuliert werden.
Hinweis 3 P(14\leqY\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ? (Taschenrechner: binomialcdf zweimal)

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 „Bei 5,5 % aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“
A\overline{A}\sum
I
\overline{I}0,91
\sum ?1
Hinweis 2 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: P_? (?)=0,9
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 3 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: P_A (\overline{I})=0,9
Pfadregel: \textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= ?}
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 4 „Von diesen haben 90 % keine Irritation“: P_A (\overline{I})=0,9
Pfadregel: \textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= =P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?}
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 5 Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden.
(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
A\overline{A}\sum
I0,0055? ?
\overline{I} 0,0495 0,91 ?
\sum 0,055?1

Teilaufgabe d)

Hinweis

Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen.

Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten
Wenn P_I (A)=P(A), dann spielt die Bedingung I anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander.

Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
Wenn P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I), dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).

Teilaufgabe e)

Hinweis 1 Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann.
Hinweis 2 Während beim Additionssatz die Schnittmenge A\cap I einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge A\cap I bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.