Tipp Stochastik

=== Teilaufgabe a) ===

{{formula}} E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.

4

{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.

{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.

Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.

20

21

(Taschenrechner: binomialcdf)

{{formula}}P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

27

28

29

=== Teilaufgabe b) ===

30

31

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200, \ p=0,09{{/formula}})

32

33

Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.

Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.

{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf zweimal)

44

45

46

=== Teilaufgabe c) ===

47

48

„Bei 5,5% aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“

49

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

50

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

51

|{{formula}}I{{/formula}}|||

52

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}||0,91|

53

|{{formula}}\sum{{/formula}} |?||1

„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_? (?)=0,9{{/formula}}

59

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

60

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

61

|{{formula}}I{{/formula}}|||

62

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|

63

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1

„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}

69

70

(% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= ?} {{/formula}}

71

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

72

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

73

|{{formula}}I{{/formula}}|||

74

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|

75

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1

„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}

81

82

(% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?} {{/formula}}

83

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

84

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

85

|{{formula}}I{{/formula}}|||

86

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91|

87

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1

Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden.

93

94

(% style="color:green" %)(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)

95

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

96

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

97

|{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055|(% style="color:green" %)?|(% style="color:green" %) ?

98

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495 |0,91|(% style="color:green" %) ?

99

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|(% style="color:green" %)?|1

100

101

102

=== Teilaufgabe d) ===

103

104

105

Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen.

106

107

Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten

108

109

Wenn {{formula}}P_I (A)=P(A){{/formula}}, dann spielt die Bedingung {{formula}}I{{/formula}} anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander.

110

111

Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

112

113

Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).

114

115

116

=== Teilaufgabe e) ===

117

118

Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann.

Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.

124

[[image:Venndiagramm_e).png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.

{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup(\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+P(\overline{A} \cap I)= ?{{/formula}}

135

136

137

=== Teilaufgabe f) ===

138

139

Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.

{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation

145

146

Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.

147

148

{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= ?{{/formula}}

=== Teilaufgabe g) ===

153

154

Eine Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung kann hier behilflich sein.

In einer Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung werden die Werte der Zufallsgröße (hier z. B. der Gewinn) und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse notiert.

In der Tabelle kann unterschieden werden zwischen „keine Rückgabe“, „Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit“ und „Rückgabe aus sonstigen Gründen“

165

166

Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen

167

168

{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen

169

(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)

170

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen

171

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| | |

172

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}| | |{{formula}}a{{/formula}}

(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)

178

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen

179

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |?

180

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|? |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}

Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}.

{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}}

(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)

196

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen

197

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}

198

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}

199

200

{{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+0,09\cdot (-0,5)+a\cdot(-0,5){{/formula}}

201

202

{{formula}}\mu=6,50{{/formula}}

{{formula}}(0,91-a)\cdot9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5{{/formula}}

209

Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden.

210

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Zuletzt geändert

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		3	{{formula}} E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Hinweis 2"}}
		8	{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
		9	{{/detail}}
		10
		11
		12	{{detail summary="Hinweis 3"}}
		13	{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
		14	{{/detail}}
		15
		16
		17	{{detail summary="Hinweis 4"}}
		18	<p>
		19	Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
		20	</p>
		21	(Taschenrechner: binomialcdf)
		22	{{/detail}}
		23
		24
		25	{{detail summary="Hinweis 5"}}
		26	{{formula}}P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		27	{{/detail}}
		28
		29	=== Teilaufgabe b) ===
		30	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		31	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200, \ p=0,09{{/formula}})
		32	<br>
		33	Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
		34	{{/detail}}
		35
		36
		37	{{detail summary="Hinweis 2"}}
		38	Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
		39	{{/detail}}
		40
		41
		42	{{detail summary="Hinweis 3"}}
		43	{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf zweimal)
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		45
		46	=== Teilaufgabe c) ===
		47	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		48	„Bei 5,5% aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“
		49	(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
		50	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
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		53	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|?\|\|1
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		56
		57	{{detail summary="Hinweis 2"}}
		58	„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_? (?)=0,9{{/formula}}
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		60	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		61	\|{{formula}}I{{/formula}}\|\|\|
		62	\|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}\|(% style="color:red" %) ? \|0,91\|
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		64	{{/detail}}
		65
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		67	{{detail summary="Hinweis 3"}}
		68	„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}
		69	<br>
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		74	\|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}\|(% style="color:red" %) ? \|0,91\|
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		77
		78
		79	{{detail summary="Hinweis 4"}}
		80	„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}}
		81	<br>
		82	(% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?} {{/formula}}
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		84	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
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		88	{{/detail}}
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		92	Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden.
		93	<br>
		94	(% style="color:green" %)(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
		95	(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
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		97	\|{{formula}}I{{/formula}}\|(% style="color:green" %)0,0055\|(% style="color:green" %)?\|(% style="color:green" %) ?
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		101
		102	=== Teilaufgabe d) ===
		103	{{detail summary="Hinweis"}}
		104	<p>
		105	Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen.
		106	</p><p>
		107	Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten
		108	<br>
		109	Wenn {{formula}}P_I (A)=P(A){{/formula}}, dann spielt die Bedingung {{formula}}I{{/formula}} anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander.
		110	</p>
		111	Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
		112	<br>
		113	Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).
		114	{{/detail}}
		115
		116	=== Teilaufgabe e) ===
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		121
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		124	[[image:Venndiagramm_e).png\|\|width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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		129	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.
		130	{{/detail}}
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		145	<br>
		146	Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
		147	<br>
		148	{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= ?{{/formula}}
		149	{{/detail}}
		150
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		161
		162
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		164	In der Tabelle kann unterschieden werden zwischen „keine Rückgabe“, „Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit“ und „Rückgabe aus sonstigen Gründen“
		165	<br>
		166	Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
		167	<br>
		168	{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
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		170	\|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) \|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe\|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit\|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
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		185	Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}.
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		197	\|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}\| {{formula}}9{{/formula}}\|{{formula}}-0,5{{/formula}} \|{{formula}}-0,5{{/formula}}
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		205
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		209	Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden.
		210	{{/detail}}

unfertig	fertig
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