Lösung Lineare Algebra 5_3
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/26 15:03
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\((1|-4|a)\in E \ \Leftrightarrow \ 2-(-4)+2a=4 \ \Leftrightarrow \ a=-1\)Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Eine zur Ebene \( E \) parallele Gerade \( g \) ist für eine reelle Zahl \( a \) gegeben durch \( g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -4\\ a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 1\end{pmatrix}; s\in\mathbb{R}. \)
Bestimme den Wert von \( a \) so, dass \( g \) in \( E \) liegt.
Damit \( g \) in \( E \) liegt, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen.
Wir setzen also den Stützpunkt \((1\mid -4\mid a)\) in die Ebenengleichung \(2x_1-x_2+2x_3=4\) ein und lösen nach \(a\) auf:
\(\begin{align*} 2\cdot 1-(-4)+2a&=4 \\ \Leftrightarrow 6+2a&=4 &&\mid -6\\ \Leftrightarrow 2a&=-2 &&\mid :2\\ \Leftrightarrow \ \ a&=-1 \end{align*}\)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(E\) schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid -4 \mid 0)\) und \(S_3(0 \mid 0 \mid 2)\).Das Dreieck \(S_1S_2S_3\) wird z.B. von der Geraden durch \(S_2\) und den Mittelpunkt von \(S_1S_3\) halbiert. Gleichung:\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} ; \quad t \in \mathbb{R}\)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Die Schnittpunkte von \( E \) mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
Ermittle die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
Wir bestimmen die Schnittpunkte von \( E \) mit den Koordinatenachsen indem wir jeweils zwei der Koordinaten gleich null setzen:
- Schnittpunkt mit \(x_1\)-Achse (\(x_2=0, x_3=0\)): \(2x_1 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_1 = 2 \rightarrow S_1(2 \mid 0 \mid 0)\)
- Schnittpunkt mit \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)): \(-x_2 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_2 = -4 \rightarrow S_2(0 \mid -4 \mid 0)\)
- Schnittpunkt mit \(x_3\)-Achse (\(x_1=0, x_2=0\)): \(2x_3 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_3 =2 \rightarrow S_3(0 \mid 0 \mid 2)\)
Die Geradengleichung durch die Punkte \(S_2(0|-4|0)\) und \(M(1|0|1)\) lautet:
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} ; \quad t \in \mathbb{R}\)
Mit dem Stützvektor \(\overrightarrow{OS_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_2M}=\begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-(-4) \\ 1-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)