Änderungen von Dokument Lösung Stochastik 5_2

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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42	42	</p>
43	43	//Lösung//
44	44	<br>
45		-Der Erwartungswert berechnet sich, indem man den Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte anschließend addiert
46		-{{formula}}\left(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\dots x_n\cdot P(X=x_n)\right){{/formula}}.
47		-<p></p>
48		-Wir betrachten zunächst den ersten Summanden:
49		-{{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}}
50		-<br>
51		-Die Zahl {{formula}}5{{/formula}} ist der Auszahlungsbetrag von 5 Euro.
52		-<br>
53		-Durch den Term
54		-{{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, beim Viermaligen Drehen zweimal Grün und zweimal Blau zu drehen. Denn:
55		-* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Grün
56		-* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Blau
57		-* Der Binomialkoeffizient {{formula}}\binom{4}{2}{{/formula}} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie diese Ergebnisse auf die 4 Drehungen verteilt sein können.
58		-<p></p>
59		-
60		-Zweiter Summand:
61		-{{formula}} 20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right) {{/formula}}
62		-<br>
63		-Der Faktor {{formula}}20{{/formula}} steht für einen Auszahlungsbetrag von 20 Euro.
64		-
65		-Die Klammer enthält zwei Wahrscheinlichkeiten:
66		-<br>
67		-* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Grün gedreht wird.
68		-* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Blau gedreht wird.
69		-
70		-Nach der Additionsregel (2. Pfadregel) werden die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert.
71		-<br>
72		-Somit wird durch den Term in der Klammer die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass viermal Grün oder viermal Blau gedreht wird.
73		-
74		-<div style="height: 30px;"></div>
75		-
76		-Da es keinen weiteren Summanden gibt, gibt es in den anderen Fällen keine Auszahlung. Die Regeln für die Auszahlung lauten somit:
77		-* Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
78		-5 Euro ausbezahlt.
79		-* Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
80		-* In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
81	81	{{/detail}}