2025 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Analysis - Lehrerauswahl II

1.1  Gegeben ist die in \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( g \) durch \( g(x)=(x+2)^{2}\cdot(x-2)^{2} \).
Der Graph von \( g \) ist \( K_{g} \).

1. [3 BE] Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um \( K_{g} \) handeln kann.
   

Der Graph \( K_{f} \) der Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 \) geht aus \( K_{g} \) durch Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \( a \) hervor.

2. [1 BE] Gib den Wert von \( a \) an.
3. [3 BE] Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von \( K_{f} \) verläuft.
4. [5 BE] Die Gerade mit der Gleichung \( y=\frac{9}{8} \) schließt mit dem Graphen \( K_{f} \) drei Teilflächen ein. Zeige, dass man diese Gerade nach unten verschieben muss, damit die eingeschlossenen Teilflächen alle denselben Flächeninhalt haben.

1.2  Gegeben ist die Funktion \( h \) mit \( h(x)=4\cdot \cos(x)+4 \).
Ihr Graph ist \( K_{h} \).

1. [3 BE] Zeichne \( K_{h} \) im Bereich \( -\pi\le x\le\pi \).
2. [3 BE] Zeige, dass die Gerade \( t \) mit der Gleichung \( y=-4x+2\pi+4 \) eine Tangente an den Graphen \( K_{h} \) im Punkt \( P\left(\frac{\pi}{2}|4\right) \) ist.
3. [5 BE] Die Tangente im Kurvenpunkt \( P(u|h(u)) \), \( 0\le u\le\pi \), schneidet die y-Achse im Punkt \( S \).
   Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von \( S \) maximal annehmen kann.

1.3  Ein Notizzettel hat die Maße \( 9\times9 \) cm. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, so dass sich der Flächeninhalt \( A \) des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.

1. [3 BE] Zeige, dass sich der nach \( n \) Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in \( \text{cm}^{2} \) durch die Funktion \( A \) mit
   \[ A(n)=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} \ ; \ n\in \mathbb{N} \]
   beschreiben lässt.
2. [4 BE] Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.