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Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/20 18:03
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1 {{abiaufgabe id="Analysis - Lehrerauswahl II" bes="30"}}
2 1.1 Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}} g {{/formula}} durch {{formula}} g(x)=(x+2)^{2}\cdot(x-2)^{2} {{/formula}}.
3 Der Graph von {{formula}} g {{/formula}} ist {{formula}} K_{g} {{/formula}}.
4
5 (%class=abc%)
6 1. {{be}}3{{/be}} Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}} K_{g} {{/formula}} handeln kann.
7 [[image:GraphKg.png||width="200"]]
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9 Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in y-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor.
10 (%class=abc start="2"%)
11 1. {{be}}1{{/be}} Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an.
12 1. {{be}}3{{/be}} Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft.
13 1. {{be}}5{{/be}} Die Gerade mit der Gleichung {{formula}} y=\frac{9}{8} {{/formula}} schließt mit dem Graphen {{formula}} K_{f} {{/formula}} drei Teilflächen ein. Zeige, dass man diese Gerade nach unten verschieben muss, damit die eingeschlossenen Teilflächen alle denselben Flächeninhalt haben.
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15 1.2 Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}.
16 Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}.
17
18 (%class=abc%)
19 1. {{be}}3{{/be}} Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}.
20 1. {{be}}3{{/be}} Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P\left(\frac{\pi}{2}|4\right) {{/formula}} ist.
21 1. {{be}}5{{/be}} Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}}, schneidet die y-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}.
22 Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann.
23
24 1.3 Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9\times9 {{/formula}} cm. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, so dass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
25
26 (%class=abc%)
27 1. ((({{be}}3{{/be}} Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit
28
29 {{formula}} A(n)=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} \ ; \ n\in \mathbb{N} {{/formula}}
30 beschreiben lässt.)))
31 1. {{be}}4{{/be}} Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
32 {{/abiaufgabe}}
33
34 (%class="border slim"%)
35 |=(%rowspan=2%)Aufgabe|=(%rowspan=2%)BE|=(%colspan=6%)Allgemeine mathematische Kompetenzen|=(%colspan=3%)Anforderungsbereich
36 |=K1|=K2|=K3|=K4|=K5|=K6|=I|=II|=III
37 |1.1a|3|II | | |II |I |I ||3|
38 |1.1b|1|I | | | |I | |1||
39 |1.1c|3|II | | |II |II |I ||3|
40 |1.1d|5|II |II | |II |III |II |||5
41 |1.2a|3| | | |I | | |3||
42 |1.2b|3|II | | |I |II | ||3|
43 |1.2c|5|II |II | |II |III |III |||5
44 |1.3a|3| | |I |I |I |I |3||
45 |1.3b|4|I |II |II | |II | ||4|