Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II
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Zusammenfassung
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... ... @@ -89,9 +89,11 @@ 89 89 90 90 === Teilaufgabe d) === 91 91 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 92 +[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]] 92 92 Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}} 93 93 <br> 94 94 {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}} 96 + 95 95 <br> 96 96 {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}} 97 97 ... ... @@ -110,6 +110,7 @@ 110 110 </p> 111 111 //Lösung// 112 112 <br> 115 +[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]] 113 113 Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um: 114 114 <br> 115 115 {{formula}} ... ... @@ -129,28 +129,35 @@ 129 129 <br> 130 130 {{formula}} 131 131 \begin{align*} 132 -z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\ 133 -\Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1 135 +z_{1,2}&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\ 136 +\Leftrightarrow z_1&=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1 134 134 \end{align*} 135 135 {{/formula}} 136 136 <br> 137 -{{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}} 140 +Resubstitution ({{formula}}z=x^2{{/formula}}): 141 +<br> 142 +{{formula}}x^2=7 \ \Leftrightarrow \ x_{1/2}=\pm\sqrt{7}{{/formula}} 143 +<br> 144 +{{formula}}x^2=1 \ \Leftrightarrow \ x_{3/4}=\pm \sqrt{1}=\pm 1 {{/formula}} 138 138 146 +<br> 139 139 Wir berechnen jeweils den eingeschlossenen Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen: 148 +<br> 140 140 141 -<br> 142 -{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}} 150 +{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{8}x\right]_{-1}^1 =\frac{17}{5} \approx 1{,}13 {{/formula}} 143 143 144 -< br>152 +<p></p> 145 145 146 -{{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}} 154 +{{formula}} \left|\int_{-\sqrt{7}}^{-1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right|=\left|\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right| \approx |-1{,}18|=1{,}18 {{/formula}} 147 147 156 +<p></p> 157 +Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind. 148 148 {{/detail}} 149 149 150 150 == 1.2 == 151 151 === Teilaufgabe a) === 152 152 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 153 -[[image:1.2a.png||width="300"]] 163 +[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]] 154 154 {{/detail}} 155 155 156 156 ... ... @@ -164,7 +164,7 @@ 164 164 //Lösung// 165 165 <br> 166 166 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird. 167 -[[image:1.2a.png||width="300"]] 177 +[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]] 168 168 {{/detail}} 169 169 170 170 ... ... @@ -309,12 +309,9 @@ 309 309 === Teilaufgabe a) === 310 310 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 311 311 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 312 -<br><p> 313 -Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 314 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert. 315 -</p> 316 -Daher {{formula}} 317 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n 322 +<br> 323 +{{formula}} 324 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} 318 318 {{/formula}}. 319 319 {{/detail}} 320 320 ... ... @@ -324,11 +324,11 @@ 324 324 <br><p> 325 325 Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert. 326 326 <p></p> 327 - 334 +Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt. 328 328 </p> 329 329 //Lösung// 330 330 <br> 331 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) 338 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0)= 81{{/formula}} 332 332 <br> 333 333 Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} 334 334 <br> ... ... @@ -342,7 +342,7 @@ 342 342 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird. 343 343 <p></p> 344 344 Daher {{formula}} 345 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n 352 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} 346 346 {{/formula}}. 347 347 {{/detail}} 348 348
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