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Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/22 15:45
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1 == 1.1 ==
2 === Teilaufgabe a) ===
3 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
4 Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
5 <br>
6 Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
7 <br>
8 Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 //Aufgabenstellung//
14 <br><p>
15 Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann.
16 </p>
17 //Lösung//
18 <br>
19 Mögliche Argumente:
20 <br>
21 * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
22 <br>
23 (Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}})
24 <br>
25 * Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
26 <br>
27 (Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse)
28 * Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
29 <br>
30 (Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}}.)
31 {{/detail}}
32
33 === Teilaufgabe b) ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
35 {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}
36 {{/detail}}
37
38
39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 //Aufgabenstellung//
41 <br><p>
42 Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor.
43 <br>
44 Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an.
45 </p>
46 //Lösung//
47 <br>
48 Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
49 Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
55 <br>
56 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
57 <br><p>
58 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
59 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
60 {{/formula}}
61 </p>
62 Damit: {{formula}}
63 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
64 {{/formula}}
65 {{/detail}}
66
67
68 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69 //Aufgabenstellung//
70 <br><p>
71 Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft.
72 </p>
73 //Lösung//
74 <br>
75 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
76 <br>
77 Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
78 <br>
79 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
80 <br><p>
81 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
82 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
83 {{/formula}}
84 </p>
85 Damit: {{formula}}
86 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
87 {{/formula}}
88 {{/detail}}
89
90 === Teilaufgabe d) ===
91 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}}
93 <br>
94 {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
95 <br>
96 {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
97
98 <br>
99
100 {{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
101
102 <br>
103 Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
104 {{/detail}}
105
106
107 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108 //Aufgabenstellung//
109 <br><p>
110 Die Gerade mit der Gleichung {{formula}} y=\frac{9}{8} {{/formula}} schließt mit dem Graphen {{formula}} K_{f} {{/formula}} drei Teilflächen ein. Zeige, dass man diese Gerade nach unten verschieben muss, damit die eingeschlossenen Teilflächen alle denselben Flächeninhalt haben.
111 </p>
112 //Lösung//
113 <br>
114 Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
115 <br>
116 {{formula}}
117 \begin{align*}
118 \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2&=\frac{9}{8} &&\mid \cdot 8\\
119 \Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+16&=9 &&\mid -9 \\
120 \Leftrightarrow \ \ x^{4}-8x^{2}+7&=0
121 \end{align*}
122 {{/formula}}
123 <br>
124 Nun setzen {{formula}}x^2=z{{/formula}} und führen die Gleichung so mittels Substition in eine quadratische Gleichung über:
125 {{formula}}
126 z^2-8z+7=0
127 {{/formula}}
128 <br>
129 Mit der Mitternachtsformel ergibt sich:
130 <br>
131 {{formula}}
132 \begin{align*}
133 z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
134 \Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
135 \end{align*}
136 {{/formula}}
137 <br>
138 {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
139 <br>
140 {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
141
142 <br>
143
144 {{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
145
146 {{/detail}}
147
148 == 1.2 ==
149 === Teilaufgabe a) ===
150 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
151 [[image:1.2a.png||width="300"]]
152 {{/detail}}
153
154
155 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
156 //Aufgabenstellung//
157 <br><p>
158 Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}.
159 <br>
160 Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}.
161 </p>
162 //Lösung//
163 <br>
164 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
165 [[image:1.2a.png||width="300"]]
166 {{/detail}}
167
168
169 === Teilaufgabe b) ===
170 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
171 {{formula}}
172 t(x) = -4x + 2\pi + 4
173 {{/formula}}
174 <br>
175 {{formula}}
176 t'(x) = -4
177 {{/formula}}
178 <br>
179 {{formula}}
180 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
181 {{/formula}}
182 <br>
183 {{formula}}
184 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
185 {{/formula}}
186 <br>
187 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
188 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
189 {{/formula}}
190 {{/detail}}
191
192
193 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
194 //Aufgabenstellung//
195 <br><p>
196 Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist.
197 </p>
198 //Lösung//
199 <br>
200 Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}.
201 <br>
202 Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}}
203 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right){{/formula}} und {{formula}}h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
204 {{/formula}} gilt:
205 <p></p>
206 {{formula}}
207 t(x) = -4x + 2\pi + 4
208 {{/formula}}
209 <br>
210 {{formula}}
211 t'(x) = -4
212 {{/formula}}
213 <br>
214 {{formula}}
215 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
216 {{/formula}}
217 <br>
218 {{formula}}
219 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
220 {{/formula}}
221 <br>
222 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
223 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
224 {{/formula}}
225 {{/detail}}
226
227 === Teilaufgabe c) ===
228 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
229 Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}}
230 h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
231 {{/formula}}
232 <br>
233 Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}}
234 y = -4\sin(u)\cdot x + b
235 {{/formula}}
236 <br>
237 Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}}
238 b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
239 {{/formula}}
240 <br>
241 {{formula}}
242 b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
243 {{/formula}}
244 <br><p>
245 {{formula}}
246 b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
247 {{/formula}}
248 </p>
249 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
250 {{/detail}}
251
252
253 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
254 //Aufgabenstellung//
255 <br><p>
256 Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann.
257 </p>
258 //Lösung//
259 <br>
260 Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
261 <br>
262 Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
263 <br>
264 {{formula}}
265 h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
266 {{/formula}}
267 <br>
268 Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}:
269 <br>
270 {{formula}}
271 y = -4\sin(u)\cdot x + b
272 {{/formula}}
273 <br>
274 Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt:
275 <br>
276 {{formula}}
277 h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4
278 {{/formula}}
279 <br>
280 Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
281 <br>
282 {{formula}}
283 b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
284 {{/formula}}
285 <p></p>
286 Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
287 <br>
288 {{formula}}
289 b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
290 {{/formula}}
291 <br>
292 Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
293 <br>
294 {{formula}}
295 b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3
296 {{/formula}}
297 <br>
298 Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}:
299 {{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}}
300 <p></p>
301 Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}}
302 <p></p>
303 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
304 {{/detail}}
305
306 == 1.3 ==
307 === Teilaufgabe a) ===
308 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
309 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
310 <br><p>
311 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
312 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
313 </p>
314 Daher {{formula}}
315 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
316 {{/formula}}.
317 {{/detail}}
318
319
320 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
321 //Aufgabenstellung//
322 <br><p>
323 Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
324 <p></p>
325 Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
326 </p>
327 //Lösung//
328 <br>
329 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
330 <br>
331 Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
332 <br>
333 Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}}
334 <br>
335 Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}}
336 <br>
337 ...
338 <br>
339 Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
340 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
341 <p></p>
342 Daher {{formula}}
343 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
344 {{/formula}}.
345 {{/detail}}
346
347 === Teilaufgabe b) ===
348 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
349 {{formula}}
350 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
351 \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
352 {{/formula}}
353 <br>
354 liefert
355 <br>
356 {{formula}}
357 n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
358 {{/formula}}
359 <br>
360 Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
361 {{/detail}}
362
363
364 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
365 //Aufgabenstellung//
366 <br><p>
367 Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
368 </p>
369 //Lösung//
370 <br>
371 Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
372 <br>
373 Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
374 <br>
375 {{formula}}
376 \begin{align*}
377 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
378 \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
379 \Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
380 \Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
381 \Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
382 \end{align*}
383 {{/formula}}
384 <br>
385 Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
386 <p></p>
387 //Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
388 {{/detail}}