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Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 18:25
Von Version 5.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/23 12:16
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am 2026/01/23 12:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -348,8 +348,8 @@
348 348  Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
349 349  {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
350 350  <p></p>
351 -Daher {{formula}}
352 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
351 +Daher: {{formula}}
352 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
353 353  {{/formula}}.
354 354  {{/detail}}
355 355  
... ... @@ -356,14 +356,14 @@
356 356  === Teilaufgabe b) ===
357 357  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
358 358  {{formula}}
359 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
360 -\Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
359 +81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01 \
360 +\Leftrightarrow \ e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < \frac{1}{8100} \ \Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n <\ln\left(\frac{1}{8100}\right)
361 361  {{/formula}}
362 362  <br>
363 363  liefert
364 364  <br>
365 365  {{formula}}
366 -n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
366 +n > \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
367 367  {{/formula}}
368 368  <br>
369 369  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
... ... @@ -377,22 +377,22 @@
377 377  </p>
378 378  //Lösung//
379 379  <br>
380 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
380 +Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01{{/formula}}
381 381  <br>
382 382  Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
383 383  <br>
384 384  {{formula}}
385 385  \begin{align*}
386 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
387 -\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
388 -\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
389 -\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
390 -\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
386 + 81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< 0{,}01=\frac{1}{100} &&\mid :81\\
387 +\Leftrightarrow e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< \frac{1}{8100} &&\mid \ln \\
388 +\Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n &< \ln\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid: \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\
389 +\Leftrightarrow n &> \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
391 391  \end{align*}
392 392  {{/formula}}
392 +
393 393  <br>
394 394  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
395 395  <p></p>
396 -//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
396 +//Beachte: Da {{formula}}\ln\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
397 397  {{/detail}}
398 398