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Tipp Analysis - Lehrerauswahl II

Version 1.1 von akukin am 2026/01/23 11:46
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1.1

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 Was kannst du über die Nullstellen der Funktion \(g(x)\) sagen?
Hinweis 2 Überlege dir, wie der globale Verlauf von \(K_g\) aussehen müsste.

Teilaufgabe b)

Hinweis Multipliziere \(g(x)\) aus und vergleiche die Koeffizienten mit den Koeffizienten von \(f(x)\)

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 Da der Graph \(K_f\) aus \(K_g\) durch Streckung in y-Richtung hervorgeht, liegen die Extremstellen an den selben Stellen wie die von \(K_f\). Du kannst dir somit anhand der Skizze überlegen, an welchen Stellen der Graph Extrempunkte besitzt.
Hinweis 2 Ansatz für die Parabel: \(y = b \cdot x^2 + c \)

Teilaufgabe d)

Das Makro [detail] konnte nicht ausgeführt werden. Grund: [Missing macro content: this macro requires content (a body)]. Klicke auf diese Nachricht, um Details zu erfahren.

1.2

Teilaufgabe a)

Hinweis Um den Graphen zu zeichnen, kannst du mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle erstellen.

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Die Tangente muss durch den Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2}|4\right)\) gehen und an der Stelle \(x=\frac{\pi}{2}\) die selbe Steigung wie der Graph \(K_h\).
Hinweis 2 Es muss geprüft werden, ob \(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right)\) und \(h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\) gilt.

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 Bestimme die Steigung im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\), um die Tangentengleichung \(y=mx+b\) im Punkt zu bestimmen.
Hinweis 2 Versuche eine Funktion für \(b\) in Abhängigkeit von \(u\) aufzustellen und bestimme anschließend mögliche Extremstellen der Funktion, um zu prüfen, welchen Wert \(b\) maximal annimmt.
Hinweis 3 Tangente in \(P\): \(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Hinweis 4 Tangente in \(P\): \(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Punktprobe mit \(P(u \mid h(u))\) ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von \(u\): \(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\)

1.3

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 Zu Beginn gilt \(A(0)=81\).
Nach dem ersten Mal halbieren gilt \(A(1)=A(0)\cdot \frac{1}{2}=81\cdot \frac{1}{2}\).
Führe nun das Muster fort und zeige so, dass \(A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\) gelten muss.
Hinweis 2 Allgemein gilt \(e^{\ln{a}}=a\) für \(a>0\)

Teilaufgabe b)

Hinweis Es soll gelten: \(81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01\).
Stelle die Ungleichung nach \(n\) um.