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Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/28 18:55

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\), also ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Lösung

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Lösungb).png
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Lösung

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont Ebene durch ABC: \(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}\)
\(\vec{x}= \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}\)
Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse: \(x_1=x_2=0\)
Das LGS
\(\begin{align*} (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\ (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t \end{align*}\)
hat die Lösung \(s=t=\frac{1}{4}\)Wegen \(0<s<1\) und \(0<t<1\) liegt der Schnittpunkt der Ebene und der \(x_3\)-Achse im Parallelogramm.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Lösung

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
\(\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD} =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix} =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
\(\cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1} =\frac{2}{3} \Rightarrow \alpha\approx48{,}2^\circ\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Lösung

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont Die Seiten \(AB\) bzw. \(CD\) sind parallel zur \(x1x3\)-Ebene, da die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) bzw. \(\overrightarrow{CD}\) die \(x_2\) -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.

Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite \(BF\) von \(F\) geteilt wird.

Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt \(G\) von \(F\) und \(BC\):
\(\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC} =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)\)

Bemerkung: Der Ansatz \(\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}\) führt auf \(G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Lösung