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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
6 {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
13 Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 </p>
15 //Lösung//
16 [[image:Skizze-Teilaufgabe-a.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 <br>
18 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
19 <br>
20 {{formula}}
21 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
22 {{/formula}}
23 <br>
24 {{formula}}
25 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
26 {{/formula}}
27 <br>
28 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
29 <p></p>
30 //Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
31 {{/detail}}
32
33 === Teilaufgabe b) ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
35 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
36 {{/detail}}
37
38
39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 //Aufgabenstellung//
41 <br><p>
42 Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
43 </p>
44 //Lösung//
45 <br>
46 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
47 <br>
48
49 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
55 {{formula}}
56 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
57 {{/formula}}
58 <br>
59 {{formula}}
60 \vec{x}=
61 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
62 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
63 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
64 {{/formula}}
65
66 <br>
67
68 Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}}
69 <br>
70 Das LGS
71 <br>
72 {{formula}}
73 \begin{align*}
74 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
75 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
76 \end{align*}
77 {{/formula}}
78 <br>
79 hat die Lösung
80 {{formula}}
81 s=t=\frac{1}{4}
82 {{/formula}}.
83 <br>
84 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
85 {{/detail}}
86
87
88 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89 //Aufgabenstellung//
90 <br><p>
91 Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
92 </p>
93 //Lösung//
94 <br>
95 Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
96 <br>
97 {{formula}}
98 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
99 {{/formula}}
100 <br>
101 {{formula}}
102 \vec{x}=
103 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
104 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
105 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
106 {{/formula}}
107
108 <p></p>
109
110 Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
111 <br>
112 {{formula}}
113 \begin{align*}
114 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
115 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
116 \end{align*}
117 {{/formula}}
118 <br>
119 Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
120 <br>
121 {{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
122 <br>
123 Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
124 <br>
125 {{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
126 <p></p>
127 Das LGS hat somit die Lösung
128 {{formula}}
129 s=t=\frac{1}{4}
130 {{/formula}}.
131 <br>
132 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
133 {{/detail}}
134
135 === Teilaufgabe d) ===
136 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
137 Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
138 <br>
139 {{formula}}
140 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
141 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
142 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
143 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
144 {{/formula}}
145 <br>
146
147 {{formula}}
148 \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
149 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1}
150 =\frac{2}{3} \Rightarrow
151 \alpha\approx48{,}2^\circ
152 {{/formula}}
153 {{/detail}}
154
155
156 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157 //Aufgabenstellung//
158 <br><p>
159 Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
160 Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
161 <br>
162 Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
163 </p>
164 //Lösung//
165 <br>
166 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
167 <br>
168 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
169 <br>
170 {{formula}}
171 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
172 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
173 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
174 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
175 {{/formula}}
176 <br>
177 Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
178 <br>
179 {{formula}}
180 \begin{align*}
181 \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
182 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
183 =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
184 =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
185 =\frac{2}{3} \\
186 \Rightarrow
187 \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
188 \end{align*}
189 {{/formula}}
190 {{/detail}}
191
192 === Teilaufgabe e) ===
193 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
194 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
195 <p></p>
196 Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
197 entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
198 dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
199 <p></p>
200 Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
201 <br>
202 {{formula}}
203 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
204 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
205 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
206 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
207 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
208 {{/formula}}
209 <p></p>
210 Bemerkung: Der Ansatz {{formula}}
211 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}}
212 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
213 {{/formula}}
214 {{/detail}}
215
216
217 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
218 //Aufgabenstellung//
219 <br>
220 Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
221 * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
222 * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
223
224 Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
225 <p></p>
226 //Lösung//
227 <br>
228 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
229 Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
230 <p></p>
231 Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
232 <br>
233 Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
234 <p></p>
235 Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
236 <p></p>
237 Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
238 <br>
239 {{formula}}
240 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
241 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
242 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
243 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
244 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
245 {{/formula}}
246 <p></p>
247 Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
248 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
249 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
250 {{/formula}}
251 {{/detail}}