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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/28 18:55
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
6 {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
13
14 </p>
15 //Lösung//
16 <br>
17
18 {{/detail}}
19
20 === Teilaufgabe b) ===
21 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
22 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
23 {{/detail}}
24
25
26 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
27 //Aufgabenstellung//
28 <br><p>
29
30 </p>
31 //Lösung//
32 <br>
33 {{/detail}}
34
35 === Teilaufgabe c) ===
36 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
37 Ebene durch ABC:
38 {{formula}}
39 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}
40 {{/formula}}
41 <br>
42 {{formula}}
43 \vec{x}=
44 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
45 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
46 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
47 {{/formula}}
48
49 <br>
50
51 Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}}
52 <br>
53 Das LGS
54 <br>
55 {{formula}}
56 \begin{align*}
57 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
58 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
59 \end{align*}
60 {{/formula}}
61 <br>
62 hat die Lösung
63 {{formula}}
64 s=t=\frac{1}{4}
65 {{/formula}}
66
67 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
68 {{/detail}}
69
70
71 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 //Aufgabenstellung//
73 <br><p>
74
75 </p>
76 //Lösung//
77 <br>
78 {{/detail}}
79
80 === Teilaufgabe d) ===
81 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
82 Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
83 <br>
84 {{formula}}
85 \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}
86 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
87 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
88 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
89 {{/formula}}
90 <br>
91
92 {{formula}}
93 \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
94 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1}
95 =\frac{2}{3} \Rightarrow
96 \alpha\approx48{,}2^\circ
97 {{/formula}}
98 {{/detail}}
99
100
101 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
102 //Aufgabenstellung//
103 <br><p>
104
105 </p>
106 //Lösung//
107 <br>
108 {{/detail}}
109
110 === Teilaufgabe e) ===
111 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x1x3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
113 <p></p>
114 Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
115 entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
116 dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
117 <p></p>
118 Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
119 <br>
120 {{formula}}
121 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
122 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
123 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
124 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix},
125 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
126 {{/formula}}
127 <p></p>
128 Bemerkung: Der Ansatz {{formula}}
129 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}}
130 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
131 {{/formula}}
132 {{/detail}}
133
134
135 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
136 //Aufgabenstellung//
137 <br><p>
138
139 </p>
140 //Lösung//
141 <br>
142 {{/detail}}