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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 21:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -10,24 +10,11 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
13 +
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 -[[image:Skizze-Teilaufgabe-a.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 17  <br>
18 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
19 -<br>
20 -{{formula}}
21 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
22 -{{/formula}}
23 -<br>
24 -{{formula}}
25 -\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
26 -{{/formula}}
27 -<br>
28 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
29 -<p></p>
30 -//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
17 +
31 31  {{/detail}}
32 32  
33 33  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -39,21 +39,17 @@
39 39  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 40  //Aufgabenstellung//
41 41  <br><p>
42 -Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
29 +
43 43  </p>
44 44  //Lösung//
45 45  <br>
46 -Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
47 -<br>
48 -
49 -[[image:Lösungb).png||width="300"]]
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  === Teilaufgabe c) ===
53 53  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 -Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
37 +Ebene durch ABC:
55 55  {{formula}}
56 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
39 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}
57 57  {{/formula}}
58 58  <br>
59 59  {{formula}}
... ... @@ -79,8 +79,8 @@
79 79  hat die Lösung
80 80  {{formula}}
81 81  s=t=\frac{1}{4}
82 -{{/formula}}.
83 -<br>
65 +{{/formula}}
66 +
84 84  Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
85 85  {{/detail}}
86 86  
... ... @@ -88,48 +88,10 @@
88 88  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89 89  //Aufgabenstellung//
90 90  <br><p>
91 -Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
74 +
92 92  </p>
93 93  //Lösung//
94 94  <br>
95 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
96 -<br>
97 -{{formula}}
98 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
99 -{{/formula}}
100 -<br>
101 -{{formula}}
102 -\vec{x}=
103 -\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
104 -+s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
105 -+t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
106 -{{/formula}}
107 -
108 -<p></p>
109 -
110 -Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
111 -<br>
112 -{{formula}}
113 -\begin{align*}
114 -(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
115 -(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
116 -\end{align*}
117 -{{/formula}}
118 -<br>
119 -Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
120 -<br>
121 -{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
122 -<br>
123 -Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
124 -<br>
125 -{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
126 -<p></p>
127 -Das LGS hat somit die Lösung
128 -{{formula}}
129 -s=t=\frac{1}{4}
130 -{{/formula}}.
131 -<br>
132 -Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
133 133  {{/detail}}
134 134  
135 135  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -137,7 +137,7 @@
137 137  Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
138 138  <br>
139 139  {{formula}}
140 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
85 +\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}
141 141  =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
142 142  =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
143 143  =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
... ... @@ -156,46 +156,19 @@
156 156  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157 157  //Aufgabenstellung//
158 158  <br><p>
159 -Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
160 -Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
161 -<br>
162 -Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
104 +
163 163  </p>
164 164  //Lösung//
165 165  <br>
166 -Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
167 -<br>
168 -Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
169 -<br>
170 -{{formula}}
171 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
172 -=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
173 -=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
174 -=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
175 -{{/formula}}
176 -<br>
177 -Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
178 -<br>
179 -{{formula}}
180 -\begin{align*}
181 -\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
182 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
183 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
184 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
185 -=\frac{2}{3} \\
186 -\Rightarrow
187 -\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
188 -\end{align*}
189 -{{/formula}}
190 190  {{/detail}}
191 191  
192 192  === Teilaufgabe e) ===
193 193  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
194 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
112 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x1x3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
195 195  <p></p>
196 196  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
197 197  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
198 -dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
116 +dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
199 199  <p></p>
200 200  Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
201 201  <br>
... ... @@ -203,7 +203,7 @@
203 203  \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
204 204  =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
205 205  +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
206 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
124 +=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix},
207 207  G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
208 208  {{/formula}}
209 209  <p></p>
... ... @@ -216,38 +216,11 @@
216 216  
217 217  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
218 218  //Aufgabenstellung//
219 -<br>
220 -Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
221 -* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
222 -* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
137 +<br><p>
223 223  
224 -Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
225 -<p></p>
139 +</p>
226 226  //Lösung//
227 227  <br>
228 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
229 -Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
230 -<p></p>
231 -Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
232 -<br>
233 -Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
234 -<p></p>
235 -Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
236 -<p></p>
237 -Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
238 -<br>
239 -{{formula}}
240 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
241 -=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
242 -+\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
243 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
244 -G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
245 -{{/formula}}
246 -<p></p>
247 -Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
248 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
249 -G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
250 -{{/formula}}
251 251  {{/detail}}
252 252  
253 253  
Skizze-Teilaufgabe-a.odg
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Skizze-Teilaufgabe-a.png
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