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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
Von Version 11.2
bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 21:43
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bearbeitet von akukin
am 2026/02/02 19:52
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -13,9 +13,8 @@
13 13  Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 -[[image:Skizze-Teilaufgabe-a.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 17  <br>
18 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
17 +Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
19 19  <br>
20 20  {{formula}}
21 21  \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
... ... @@ -44,8 +44,6 @@
44 44  //Lösung//
45 45  <br>
46 46  Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
47 -<br>
48 -
49 49  [[image:Lösungb).png||width="300"]]
50 50  {{/detail}}
51 51  
... ... @@ -92,7 +92,7 @@
92 92  </p>
93 93  //Lösung//
94 94  <br>
95 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
92 +Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
96 96  <br>
97 97  {{formula}}
98 98  \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
... ... @@ -180,8 +180,8 @@
180 180  \begin{align*}
181 181  \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
182 182  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
183 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
184 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
180 +=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 +=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
185 185  =\frac{2}{3} \\
186 186  \Rightarrow
187 187  \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
... ... @@ -195,7 +195,7 @@
195 195  <p></p>
196 196  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
197 197  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
198 -dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
195 +dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
199 199  <p></p>
200 200  Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
201 201  <br>
... ... @@ -216,38 +216,15 @@
216 216  
217 217  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
218 218  //Aufgabenstellung//
219 -<br>
216 +<br><p>
220 220  Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
221 221  * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
222 222  * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
223 -
220 +<br>
224 224  Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
225 -<p></p>
222 +</p>
226 226  //Lösung//
227 227  <br>
228 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
229 -Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
230 -<p></p>
231 -Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
232 -<br>
233 -Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
234 -<p></p>
235 -Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
236 -<p></p>
237 -Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
238 -<br>
239 -{{formula}}
240 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
241 -=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
242 -+\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
243 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
244 -G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
245 -{{/formula}}
246 -<p></p>
247 -Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
248 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
249 -G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
250 -{{/formula}}
251 251  {{/detail}}
252 252  
253 253  
Skizze-Teilaufgabe-a.odg
Author
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Größe
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Inhalt
Skizze-Teilaufgabe-a.png
Author
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