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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
Von Version 11.2
bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 21:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -13,9 +13,8 @@
13 13  Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 -[[image:Skizze-Teilaufgabe-a.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 17  <br>
18 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
17 +Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
19 19  <br>
20 20  {{formula}}
21 21  \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
... ... @@ -180,8 +180,8 @@
180 180  \begin{align*}
181 181  \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
182 182  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
183 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
184 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
182 +=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
183 +=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
185 185  =\frac{2}{3} \\
186 186  \Rightarrow
187 187  \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
... ... @@ -225,7 +225,7 @@
225 225  <p></p>
226 226  //Lösung//
227 227  <br>
228 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
227 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene{{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
229 229  Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
230 230  <p></p>
231 231  Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
... ... @@ -232,9 +232,9 @@
232 232  <br>
233 233  Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
234 234  <p></p>
235 -Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
234 +Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge.
236 236  <p></p>
237 -Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
236 +Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
238 238  <br>
239 239  {{formula}}
240 240  \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
Skizze-Teilaufgabe-a.odg
Author
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Skizze-Teilaufgabe-a.png
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