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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,8 +1,8 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 3  {{formula}}
4 -\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\quad
5 -\vec{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
4 +\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 +\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
6 6  {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 7  {{/detail}}
8 8  
... ... @@ -10,11 +10,23 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -
13 +Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 16  <br>
17 -
17 +Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 +<br>
19 +{{formula}}
20 +\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 +{{/formula}}
22 +<br>
23 +{{formula}}
24 +\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 +{{/formula}}
26 +<br>
27 +Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 +<p></p>
29 +//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
18 18  {{/detail}}
19 19  
20 20  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -26,17 +26,19 @@
26 26  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
27 27  //Aufgabenstellung//
28 28  <br><p>
29 -
41 +Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
30 30  </p>
31 31  //Lösung//
32 32  <br>
45 +Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 +[[image:Lösungb).png||width="300"]]
33 33  {{/detail}}
34 34  
35 35  === Teilaufgabe c) ===
36 36  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
37 -Ebene durch ABC:
51 +Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
38 38  {{formula}}
39 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}
53 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
40 40  {{/formula}}
41 41  <br>
42 42  {{formula}}
... ... @@ -62,8 +62,8 @@
62 62  hat die Lösung
63 63  {{formula}}
64 64  s=t=\frac{1}{4}
65 -{{/formula}}
66 -
79 +{{/formula}}.
80 +<br>
67 67  Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
68 68  {{/detail}}
69 69  
... ... @@ -71,10 +71,48 @@
71 71  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 72  //Aufgabenstellung//
73 73  <br><p>
74 -
88 +Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
75 75  </p>
76 76  //Lösung//
77 77  <br>
92 +Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 +<br>
94 +{{formula}}
95 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
96 +{{/formula}}
97 +<br>
98 +{{formula}}
99 +\vec{x}=
100 +\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
101 ++s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
102 ++t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
103 +{{/formula}}
104 +
105 +<p></p>
106 +
107 +Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
108 +<br>
109 +{{formula}}
110 +\begin{align*}
111 +(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
112 +(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
113 +\end{align*}
114 +{{/formula}}
115 +<br>
116 +Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
117 +<br>
118 +{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
119 +<br>
120 +Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
121 +<br>
122 +{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
123 +<p></p>
124 +Das LGS hat somit die Lösung
125 +{{formula}}
126 +s=t=\frac{1}{4}
127 +{{/formula}}.
128 +<br>
129 +Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
78 78  {{/detail}}
79 79  
80 80  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -82,7 +82,7 @@
82 82  Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
83 83  <br>
84 84  {{formula}}
85 -\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}
137 +\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
86 86  =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
87 87  =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
88 88  =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
... ... @@ -101,15 +101,42 @@
101 101  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
102 102  //Aufgabenstellung//
103 103  <br><p>
104 -
156 +Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
157 +Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
158 +<br>
159 +Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
105 105  </p>
106 106  //Lösung//
107 107  <br>
163 +Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
164 +<br>
165 +Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
166 +<br>
167 +{{formula}}
168 +\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
169 +=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
170 +=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
171 +=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
172 +{{/formula}}
173 +<br>
174 +Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
175 +<br>
176 +{{formula}}
177 +\begin{align*}
178 +\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 +\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 +=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 +=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 +=\frac{2}{3} \\
183 +\Rightarrow
184 +\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
185 +\end{align*}
186 +{{/formula}}
108 108  {{/detail}}
109 109  
110 110  === Teilaufgabe e) ===
111 111  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x1x3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
191 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
113 113  <p></p>
114 114  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
115 115  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
... ... @@ -121,7 +121,7 @@
121 121  \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
122 122  =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
123 123  +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
124 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix},
203 +=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
125 125  G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
126 126  {{/formula}}
127 127  <p></p>
... ... @@ -135,7 +135,11 @@
135 135  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
136 136  //Aufgabenstellung//
137 137  <br><p>
138 -
217 +Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 +* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 +* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 +<br>
221 +Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
139 139  </p>
140 140  //Lösung//
141 141  <br>