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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/29 08:39
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am 2026/02/02 19:52
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -10,11 +10,23 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -
13 +Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 16  <br>
17 -
17 +Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 +<br>
19 +{{formula}}
20 +\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 +{{/formula}}
22 +<br>
23 +{{formula}}
24 +\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 +{{/formula}}
26 +<br>
27 +Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 +<p></p>
29 +//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
18 18  {{/detail}}
19 19  
20 20  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -26,15 +26,17 @@
26 26  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
27 27  //Aufgabenstellung//
28 28  <br><p>
29 -
41 +Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
30 30  </p>
31 31  //Lösung//
32 32  <br>
45 +Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 +[[image:Lösungb).png||width="300"]]
33 33  {{/detail}}
34 34  
35 35  === Teilaufgabe c) ===
36 36  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
37 -Ebene durch ABC:
51 +Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
38 38  {{formula}}
39 39  \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
40 40  {{/formula}}
... ... @@ -71,10 +71,48 @@
71 71  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 72  //Aufgabenstellung//
73 73  <br><p>
74 -
88 +Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
75 75  </p>
76 76  //Lösung//
77 77  <br>
92 +Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 +<br>
94 +{{formula}}
95 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
96 +{{/formula}}
97 +<br>
98 +{{formula}}
99 +\vec{x}=
100 +\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
101 ++s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
102 ++t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
103 +{{/formula}}
104 +
105 +<p></p>
106 +
107 +Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
108 +<br>
109 +{{formula}}
110 +\begin{align*}
111 +(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
112 +(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
113 +\end{align*}
114 +{{/formula}}
115 +<br>
116 +Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
117 +<br>
118 +{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
119 +<br>
120 +Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
121 +<br>
122 +{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
123 +<p></p>
124 +Das LGS hat somit die Lösung
125 +{{formula}}
126 +s=t=\frac{1}{4}
127 +{{/formula}}.
128 +<br>
129 +Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
78 78  {{/detail}}
79 79  
80 80  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -101,10 +101,37 @@
101 101  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
102 102  //Aufgabenstellung//
103 103  <br><p>
104 -
156 +Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
157 +Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
158 +<br>
159 +Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
105 105  </p>
106 106  //Lösung//
107 107  <br>
163 +Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
164 +<br>
165 +Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
166 +<br>
167 +{{formula}}
168 +\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
169 +=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
170 +=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
171 +=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
172 +{{/formula}}
173 +<br>
174 +Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
175 +<br>
176 +{{formula}}
177 +\begin{align*}
178 +\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 +\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 +=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 +=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 +=\frac{2}{3} \\
183 +\Rightarrow
184 +\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
185 +\end{align*}
186 +{{/formula}}
108 108  {{/detail}}
109 109  
110 110  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -135,7 +135,11 @@
135 135  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
136 136  //Aufgabenstellung//
137 137  <br><p>
138 -
217 +Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 +* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 +* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 +<br>
221 +Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
139 139  </p>
140 140  //Lösung//
141 141  <br>