Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -10,11 +10,23 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
--
++Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
--
++Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
++<br>
++{{formula}}
++\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
++{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}
++\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
++{{/formula}}
++<br>
++Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
++<p></p>
++//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe b) ===
@@ -26,15 +26,19 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
--
++Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
++Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
++<br>
++
++[[image:Lösungb).png||width="300"]]
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe c) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
--Ebene durch ABC:
++Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
  {{formula}}
  \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
  {{/formula}}
@@ -71,10 +71,48 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
--
++Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
++Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
++<br>
++{{formula}}
++\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
++{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}
++\vec{x}=
++\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
+++s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
+++t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
++{{/formula}}
++
++<p></p>
++
++Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
++<br>
++{{formula}}
++\begin{align*}
++(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
++(2) \  0 &=-2 \qquad \ +8t
++\end{align*}
++{{/formula}}
++<br>
++Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
++<br>
++{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \  \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
++<br>
++Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
++<br>
++{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
++<p></p>
++Das LGS hat somit die Lösung
++{{formula}}
++s=t=\frac{1}{4}
++{{/formula}}.
++<br>
++Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe d) ===
@@ -101,10 +101,37 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
--
++Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
++Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
++<br>
++Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
++Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
++<br>
++Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
++<br>
++{{formula}}
++\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
++=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
++=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
++=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
++{{/formula}}
++<br>
++Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
++<br>
++{{formula}}
++\begin{align*}
++\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
++\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
++=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
++=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
++=\frac{2}{3} \\
++\Rightarrow
++\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
++\end{align*}
++{{/formula}}
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe e) ===
@@ -113,7 +113,7 @@
  <p></p>
  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
--dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}}  geteilt wird.
++dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}}  geteilt wird.
  <p></p>
  Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
  <br>
@@ -134,11 +134,38 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
--<br><p>
++<br>
++Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
++* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
++* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
--</p>
++Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
++<p></p>
  //Lösung//
  <br>
++Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene{{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
++Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
++<p></p>
++Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
++<br>
++Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
++<p></p>
++Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge.
++<p></p>
++Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
++<br>
++{{formula}}
++\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
++=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
+++\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
++=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
++G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
++{{/formula}}
++<p></p>
++Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
++\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
++G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
++{{/formula}}
  {{/detail}}

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