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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,8 +1,8 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 3  {{formula}}
4 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 -\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
4 +\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\quad
5 +\vec{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
6 6  {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 7  {{/detail}}
8 8  
... ... @@ -10,23 +10,11 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
13 +
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 16  <br>
17 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 -<br>
19 -{{formula}}
20 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 -{{/formula}}
22 -<br>
23 -{{formula}}
24 -\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 -{{/formula}}
26 -<br>
27 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 -<p></p>
29 -//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
17 +
30 30  {{/detail}}
31 31  
32 32  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -38,19 +38,17 @@
38 38  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 39  //Aufgabenstellung//
40 40  <br><p>
41 -Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
29 +
42 42  </p>
43 43  //Lösung//
44 44  <br>
45 -Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 -[[image:Lösungb).png||width="300"]]
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe c) ===
50 50  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
51 -Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
37 +Ebene durch ABC:
52 52  {{formula}}
53 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
39 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}
54 54  {{/formula}}
55 55  <br>
56 56  {{formula}}
... ... @@ -76,8 +76,8 @@
76 76  hat die Lösung
77 77  {{formula}}
78 78  s=t=\frac{1}{4}
79 -{{/formula}}.
80 -<br>
65 +{{/formula}}
66 +
81 81  Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
82 82  {{/detail}}
83 83  
... ... @@ -85,48 +85,10 @@
85 85  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 86  //Aufgabenstellung//
87 87  <br><p>
88 -Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
74 +
89 89  </p>
90 90  //Lösung//
91 91  <br>
92 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 -<br>
94 -{{formula}}
95 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
96 -{{/formula}}
97 -<br>
98 -{{formula}}
99 -\vec{x}=
100 -\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
101 -+s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
102 -+t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
103 -{{/formula}}
104 -
105 -<p></p>
106 -
107 -Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
108 -<br>
109 -{{formula}}
110 -\begin{align*}
111 -(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
112 -(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
113 -\end{align*}
114 -{{/formula}}
115 -<br>
116 -Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
117 -<br>
118 -{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
119 -<br>
120 -Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
121 -<br>
122 -{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
123 -<p></p>
124 -Das LGS hat somit die Lösung
125 -{{formula}}
126 -s=t=\frac{1}{4}
127 -{{/formula}}.
128 -<br>
129 -Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
130 130  {{/detail}}
131 131  
132 132  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -134,7 +134,7 @@
134 134  Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
135 135  <br>
136 136  {{formula}}
137 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
85 +\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}
138 138  =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
139 139  =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
140 140  =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
... ... @@ -153,42 +153,15 @@
153 153  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
154 154  //Aufgabenstellung//
155 155  <br><p>
156 -Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
157 -Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
158 -<br>
159 -Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
104 +
160 160  </p>
161 161  //Lösung//
162 162  <br>
163 -Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
164 -<br>
165 -Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
166 -<br>
167 -{{formula}}
168 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
169 -=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
170 -=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
171 -=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
172 -{{/formula}}
173 -<br>
174 -Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
175 -<br>
176 -{{formula}}
177 -\begin{align*}
178 -\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 -=\frac{2}{3} \\
183 -\Rightarrow
184 -\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
185 -\end{align*}
186 -{{/formula}}
187 187  {{/detail}}
188 188  
189 189  === Teilaufgabe e) ===
190 190  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
191 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
112 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x1x3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
192 192  <p></p>
193 193  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
194 194  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
... ... @@ -200,7 +200,7 @@
200 200  \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
201 201  =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
202 202  +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
203 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
124 +=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix},
204 204  G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
205 205  {{/formula}}
206 206  <p></p>
... ... @@ -214,11 +214,7 @@
214 214  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
215 215  //Aufgabenstellung//
216 216  <br><p>
217 -Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 -* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 -* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 -<br>
221 -Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
138 +
222 222  </p>
223 223  //Lösung//
224 224  <br>